Bestimmen Sie die gegenseitige Lage der Geraden g zur Ebene E

Question

Aufgabe: Bestimmen Sie die gegenseitige Lage der Geraden g zur Ebene E und geben Sie ggf. den Durchstoßpunkt an:

g= (-3,0,3) + t•(4,2,1)

E= (3,4,1) + r•(1,2,0)+s•(-1,1,1)

Hey ich weiß leider nicht wie man hier korrekt die Vektoren aufschreibt aber ich hab echt Probleme mit der Aufgabe. Ich kriege für t,r und s immer ganz komische Kommazahlen raus und die wären für eine Klausuraufgabe einfach sehr unwahrscheinlich. Vielend Dank um jede Hilfe

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Liefere demnächst bitte deine Rechnung mit, damit wir gezielt nach deinem Fehler suchen können.

Answer 1

Um den Durchstoßpunkt zu ermitteln (wenn es einen gibt) könnte man die Ebene und die Gerade gleichsetzen

[3, 4, 1] + r·[1, 2, 0] + s·[-1, 1, 1] = [-3, 0, 3] + t·[4, 2, 1]

Dadurch kommen wir auf folgendes Gleichungssystem

r - s - 4·t = - 6
2·r + s - 2·t = - 4
s - t = 2

Da dieses Gleichungssystem die Lösung r = - 26/9 ∧ s = 20/9 ∧ t = 2/9 hat, schneidet die Gerade die Ebene und der Durchstoßpunkt liegt bei

S = [-3, 0, 3] + 2/9·[4, 2, 1] = [- 19/9, 4/9, 29/9]

S(- 19/9 | 4/9 | 29/9)

Diese Brüche sind also in der Tat Kommazahlen. Wenn es eine Aufgabe aus der Klausur ist, würde ich mich bereits beim ersten Bruch vergewissern, ob ich die Aufgabe richtig abgeschrieben habe. oder ob ich irgendwo einen Rechenfehler habe.

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Ein riesen Dankeschön, ich war echt am verzweifeln. Mein Fehler war dann doch nicht das Gleichungssystem, sondern ein Vorzeichen Fehler als ich die Vektoren umstellen wollte, danke nochmals

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Prima, dass du das Problem mit deinem kleinen Vorzeichenfehler schnell klären konntest. In Klausuren wäre sowas zum Glück nicht so gravierend, wenn der Rest stimmt.

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Diese Brüche sind also in der Tat Kommazahlen

Nur, wenn man welche daraus macht. Schüler und vermutlich auch Studenten neigen dazu, ganz exakte Werte wie 4/9 zwanghaft in Kommazahlen umzurechnen.

Dieses Denken sollte man nicht noch unterstützen.

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Da ich dieses Denken nicht explizit unterstützen möchte habe ich in meiner Antwort hier nur Brüche notiert. Trotzdem kann es zur einfacheren Erfassung der Zahl sinnvoll sein es auch als Dezimalzahl zu notieren. Z.B. wenn etwas in ein Koordinatensystem einzuzeichnen ist.

Es ist dabei kein Problem wie folgt zu notieren

$$\frac{4}{9} = 0.\overline4$$

Bei solch einfachen Brüchen ist das für das Verständnis noch nicht so notwendig wie bei etwas Schwierigeren wie 26/9 oder sowas.

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Über diese Fähigkeit verfügen maximal \( \frac{4}{9}\,\%\) der Schüler. Die meisten sind ja schon mit Zehntel und Halbe überfordert... Aber zum Glück gibt es Taschenrechner...

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Über den genauen Anteil kann man sicherlich streiten. Ich habe keinen Zweifel, dass das für eine deutliche Mehrheit der Schüler zutrifft. Und auch für einen großen Teil der Studenten. Und aus aktuellem Anlass: ist wie mit der Rechtschreibung

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Ich finde es ja wieder toll, dass mir Polemik unterstellt wird, nur weil ich etwas überspitzt darstelle (rhetorisches Mittel)...

Es ist leider ein Fakt, dass die Bruchrechenfertigkeiten der Schüler zu Wünschen übrig lassen und das erlebe ich tagtäglich, wenn die Schüler bei Anwendung der pq-Formel den Term \(-\frac{p}{2}\) mit \(p\) im Zahlenraum bis 20 (ganzzahlig) in den Taschenrechner eintippen. Von der Tatsache, dass sich der Bruch wesentlich leichter und ohne Taschenrechner quadrieren lässt, spreche ich gar nicht erst. Auch geht es an vielen vorbei, bei geradem \(p\) direkt die gekürzte Ganzzahl hinzuschreiben.

Es ist also gar nicht so weit hergeholt, anzunehmen, dass der Anteil derer, die wissen, was \(\frac{1}{9}\) als Dezimalzahl ist, im einstelligen Prozentbereich liegt.