Untersuchen Sie die Extrema von diesen Mengen

Question

Aufgabe:

Untersuchen Sie die folgenden Mengen auf Existenz von Infimum, Supremum, Minimum und Maximum und bestimmen Sie gegebenenfalls die Werte.
(i) \( M_{2}=\left\{x \in \mathbb{R}:(x-1)^{2}<4\right\} \)
(ii) \( M_{3}=\left\{x \in \mathbb{R} \backslash\{-2\}: \frac{1-x}{x+2} \in \mathbb{N}\right\} \)

Problem/Ansatz:

i) war kein Problem, aber bei ii) weiß ich nicht recht, wie ich anfangen soll.

Comments

Fasse {1-x)/(x+2} als Funktionsterm auf.

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Also ich habe mir jetzt überlegt, dass die Menge M₃ = {-1/2, - 1, -5/4 …} ist, damit kann ich weiter arbeiten. Das Supremum = Maximum= -1/2, das Infimum ist -2 (kein Minimum).

Das das Infimum richtig ist muß ich wohl durch Widerspruch zeigen, oder?

Answer 1

\(\frac{1-x}{x+2}\) lässt sich umschreiben in \(\frac{3-(2+x)}{x+2}\)=\(\frac{3}{x+2}-1\), und das ist nur ganz selten eine natürliche Zahl. Es muss nämlich x+2 ein Teiler von 3 sein.

Comments

Ich komme mit Umformung von:

\( \frac{1-x}{x+2} \) = n

auf

x = \( \frac{1-2n}{1+n} \)

So habe ich ja auch für n = 1, 2 etc. die ersten Werte für x berechnet.

Es gibt also unendlich viele Elemente in der Menge M_3. Die Werte sind offensichtlich monoton fallend für wachsendes n, also ist das Maximum=Supremum der Menge -1/2.

Es ist auch klar, dass kein Minimum existiert und das Infimum wohl -2 ist. An dem sauberen Beweis, das es kein größeres Infimum geben kann knabber ich noch.

Ich denke ja an einen Widerspruch mit ∈ Methode, wenn das Infimum  a > -2 wäre dann müßte ich für n groß genug doch kleiner werden können. Macht der Gedanke Sinn?

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Ich würde "unendlich oft" (abzählbar unendlich oft) nicht als "ganz selten" bezeichnen.

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Es muss nämlich x+2 ein Teiler von 3 sein.

Das ist auch eher fragwürdig.

Answer 2

\(M_3\) ist Menge aller Folgenglieder einer bestimmten Folge. Diese Folge erhältst Du durch Umstellen nach \(x\). Wenn Du die Folge erstmal hast, kannst Du mit den Sätzen zu Folgen (Konvergenz, Beschränktheit) daran gehen.

Comments

Mit der aufzählenden Darstellung kannst Du schlecht Nachweise führen. Wie schon gesagt, setze \(\frac{1-x}{x+2}=n\), stelle nach \(x\) um und erhalte die Folgendarstellung \(x_n=...\), mit der Du weiterarbeiten kannst.

Dann erhältst Du das richtige Ergebnis (nicht das aus der Antwort von Gast...).

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Mit der aufzählenden Darstellung kannst Du schlecht Nachweise führen.

Willst du diese Behauptung immer noch aufrecht erhalten, wenn die Menge nur ein oder zwei Elemente enthält?

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Ich bezog mich natürlich auf die vom FS gefundene Darstellung.

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Korrektur/Ergänzung zu

Dann erhältst Du das richtige Ergebnis (nicht das aus der Antwort von Gast...).

Es gibt mehrere Darstellungen des Folgenglieds, die von Gast... angegebene ist auch eine (richtige).

Answer 3

Untersuchen Sie die folgenden Mengen auf Existenz von Infimum, Supremum, Minimum und Maximum und bestimmen Sie gegebenenfalls die Werte.

(i) \( M_{2}=\left\{x \in \mathbb{R}:(x-1)^{2}<4\right\} \)

(ii) \( M_{3}=\left\{x \in \mathbb{R} \backslash\{-2\}: \quad\dfrac{1-x}{x+2} \in \mathbb{N}\right\} \)

(i) war kein Problem, aber bei (ii) weiß ich nicht recht, wie ich anfangen soll.

Die Beschreibung von \(M_3\) verschleiert die Beschaffenheit der zugehörigen Elemente. Ein möglicher Anfang ist: $$\begin{aligned} \dfrac{1-x}{x+2}&=\dfrac{n}{1}\\[15pt] \dfrac{1-x}{3}&=\dfrac{n}{1+n} \end{aligned}$$Stelle das nun zunächst nach \(x\) um.

Comments

Das verstehe ich nicht. Der Bruch soll ja eine natürliche Zahl sein,

n/(n+1) ist sicher keine natürliche Zahl und wie man für x nur im Nenner 1 einsetzen kann und im Zähler nicht, verstehe ich auch nicht.

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Hier mal meine vollständige Umstellung: $$\begin{aligned} \dfrac{1-x}{x+2}&=\dfrac{n}{1}\\[15pt] \dfrac{1-x}{3}&=\dfrac{n}{1+n}\\[15pt] 1-x&=\dfrac{3n}{1+n}\\[15pt] 1-\dfrac{3n}{1+n}&=x\\[15pt] \dfrac{1-2n}{1+n}&=x\\[15pt] \end{aligned}$$ Der ursprüngliche Bruch (erste Zeile, linke Seite) soll nach der Angabe eine natürliche Zahl sein. Das Umstellen nach \(x\) soll die Beschaffenheit der Elemente von \(M_3\) erhellen.

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n/(n+1) ist sicher keine natürliche Zahl...

Meistens nicht, das muss es auch nicht und das habe ich auch nicht behauptet.

...und wie man für x nur im Nenner 1 einsetzen kann und im Zähler nicht, verstehe ich auch nicht.

Das habe ich nicht gemacht. Ich habe die Angabe in eine Verhältnisgleichung übersetzt und dann die jeweiligen Zähler zu den Nennern addiert, um eine Gleichung mit nur einem x im Zähler zu erhalten.

Answer 4

y = (1 - x) / (x + 2) wobei x ∈ ℝ \ {- 2} und y ∈ ℕ gelten soll.

Wir lösen nach x auf

x = (1 - 2·y)/(y + 1) = - 2 + 3/(y + 1)

Was passiert jetzt mit x, wenn du für y natürliche Zahlen einsetzt?

Comments

Bitte die Aufgabe richtig übernehmen.

Danke. Habe das korrigiert.