Eigenmann: Gesucht wird der Wert des Kreisradius x

Question

Aufgabe:

Gesucht wird der Wert des Kreisradius x.

Ohne Taschenrechner; die Figuren sind nicht maßgetreu.

Paul Eigenmann, Aufgabe 1.4.176, ISBN 3-12-722310-2, 1981, S. 25

Comments

Ist 14 cm die Länge der Rechteckseite oder nur die Radiuslänge des Viertelkreises?

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x : y : z =  3 : 2 : 1

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So rechtslastig wie er es beschriftet hat, scheint es die Radiuslänge zu sein.

Alles Gute im neuen Jahr!

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Man kann es auch einfach ausprobieren:

Ziehe den Punkt auf der Y-Achse so lange nach oben, bis sich die beiden blauen Kreise auf der rot gestrichelten Diagonalen berühren. Die Lösung ist dann die Y-Koordinate des Punktes.

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Eigenmann hat auch Lösungen mitgeliefert. Zu dieser Aufgabe schrieb er:

[spoiler]

\(\displaystyle 21 \, \text{cm} \)

[/spoiler]

(eingangs zitiertes Werk, S. 57)

Answer 1

x²+(x+(x-14))²=(x+14)²

5x²-56x+196=x²+28x+196

4x²-84x=0

x=21. (Die Lösung x=0 entfällt, da x>14 gelten muss.)

Comments

Habe die Aufgabe heute einem jungen Mann vorgelegt, der zwar Pythagoras aber noch keine Lösungsformel für quadratische Gleichungen kennt.

Wir waren bei \(x^2 - 21x = 0 \) und dann hielt ich die Klappe.

Da kam er auf zwei Ideen:

a)   \(x \cdot x = 21 \cdot x \)    "ha, ist ja voll easy"

b)   \(x \cdot (x - 21) = 0 \)    weil ich ihn schon ein paarmal mit Ausklammern und Ausmultiplizieren behelligt hatte, und er entdeckte den Satz vom Nullprodukt,

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Sehr schön.

dann hielt ich die Klappe.

Ein didaktisch sinnvoller Schachzug, den leider nicht alle beherrschen. Die Folge davon ist

Da kam er auf zwei Ideen:

eben der Lernerfolg (und auch der Lehrerfolg).

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Ich frage mich, was für eine Person das ist. Die meisten sind nämlich eher nicht so "helle", dass sie darauf kommen. Und der Satz vom Nullprodukt wird auch eher nicht entdeckt.

Also eine sehr seltene Ausnahmesituation würde ich sagen bzw. kein üblicher Nachhilfeschüler.

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Von Nachhilfeschüler war nicht die Rede. Ist er auch nicht. Ein heller junger Mann im 8. Schuljahr, leider zu faul fürs Gymnasium. Er hat das natürlich nicht "Satz vom Nullprodukt" genannt, aber mir erklärt, dass einer der beiden Faktoren gleich null sein muss, und es nicht der erste Faktor sein kann. Wir haben uns dann auf "mindestens einer der beiden Faktoren" geeinigt.

Answer 2

Hier eine Skizze um sich das besser vorstellen zu können:

Comments

Gast hj2166,

Du hattest recht mit Deiner Andeutung

x : y : z =  3 : 2 : 1 .

Wie bist du darauf gekommen? Ich nehme an auf kürzerem Wege, als es die Wege der anderen Melder sind. Stimmt das?

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Kannst du bitte IMMER dort kommentieren wo es gesagt wurde und nicht irgendwo?

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IMMER IMMER dort kommentieren wo es gesagt wurde ..

Dort, wo es gesagt wurde, gibt es aber keinen Button

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Kläre mich in Deiner Funktion als Redaktor bitte auf.

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Dort, wo es gesagt wurde, gibt es aber keinen Button

Du kannst generell unter Fragen und Antworten deinen Beitrag posten. Bitte schreib es dorthin, wozu du etwas Beitragen möchtest oder wo irgendwer etwas geschrieben hast was du kommentieren möchtest.

Das hat einen einfachen Grund. Wenn du es unter einer Antwort postest wie hier wird nur der Antwortgeber informiert und alle die darunter schon etwas beigetragen haben aber eben nicht der an den Dein Kommentar eigentlich gerichtet ist.

Ich hoffe ich konnte das klären. Deinen Beitrag werde ich also an dieser Stelle löschen. Bitte schreib in also dorthin wo er hingehört.

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Korregiert:

hj2166 hat hier einfach ausgenutzt, das drei sich berührende Kreise, deren Radien im Verhältnis 1:2:3 zueinerander stehen, ein rechtwinkliges Dreieck bilden.

Diesen schönen Zusammenhang findet man öfters in Knobelaufgaben oder wird bei Aufgaben zum Satz von Descartes häufig benutzt.

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Ich hoffe ich konnte das klären. Deinen Beitrag werde ich also an dieser Stelle löschen. Bitte schreib in also dorthin wo er hingehört.

Du könntest den Beitrag auch einfach markieren und darum bitten, dass er verschoben wird, wenn das nicht in deiner Macht als Redakteur liegt (tat ich vor kurzem auch und wurde anstandslos umgesetzt). Beiträge deswegen einfach zu löschen, halte ich für falsch.

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@MC
Wie kommst du dazu, mir solch einen Blödsinn zu unterstellen ?

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Sollte eher so lauten: Wenn die Radien dreier Kreise im Verhältnis 1:2:3 stehen bilden sie ein rechtwinkliges Dreieck.

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was nun in der Tat (fast) trivial ist, aber zur Lösung der Aufgabe nicht beitragen kann.

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Ich finde es eine Frechheit, wie du deine Rechte schamlos ausnutzt, um die Änderungshistorie deines Beitrags

zu unterdrücken und mir inzwischen unterstellst, ich würde den Unterschied zwischen Voraussetzung und Folgerung einer Aussage nicht kennen.

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@Gast hj2166

Halt mal den Ball flach. Ich habe extra drübergeschrieben, dass ich den Beitrag korrigiert habe.

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Der_Mathecoach schrieb

Korregiert:

hj2166 hat hier einfach ausgenutzt, das drei sich berührende Kreise, deren Radien im Verhältnis 1:2:3 zueinerander stehen, ein rechtwinkliges Dreieck bilden.

Gast hj2166 setzte unter seinen Vorwurf

Wie kommst du dazu, mir solch einen Blödsinn zu unterstellen ?

ein Bild mit Kreisen zweier Radien.

Wäret Ihr bitte so freundlich, der Gemeinschaft zu erkären, was das Geplänkel soll.

Für mich würde Sinn machen, dass die Mittelpunkte

drei sich berührender Kreise, deren Radien im Verhältnis 1:2:3 zueinerander stehen, ein rechtwinkliges Dreieck bilden.

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ein Bild mit Kreisen zweier Radien.

Es ist schon schwierig zu unterscheiden zwischen zwei verschiedenen Radien und drei Kreisen...

Das Bild zeigt ein Gegenbeispiel für drei sich berührender Kreise, deren Mittelpunkte ein rechtwinkliges Dreieck bilden, deren Radien aber eben nicht im Verhältnis 1:2:3 stehen, wie vorher fälschlicherweise von MC angegeben.

Der Irrtum, der hier vorliegt ist, dass eine "genau dann, wenn"-Aussage eine Äquivalenz bedeutet. Das heißt aus A folgt B und aus B folgt A. Das liegt im Fall mit den drei sich berührenden Kreisen aber nicht vor, was das Bild von hj eindrucksvoll zeigt.

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Mein Bild bezieht sich nicht auf den von dir zitierten "korregierten" Kommentar von MC, sondernauf seinen ursprünglichen, den ich der Deutlichkeit halber ja noch mal mitgeteilt hatte. Das Bild zeigt, dass von einem "genau dann, wenn" nicht die Rede sein kann.

Dein zweites Zitat von MC habe ich oben unter dem Stichwort von "Voraussetzung und Folgerung" behandelt. MC ist außer in einer Verbalattacke nicht darauf eingegangen - vielleicht ist ihm selber die Bedeutung in diesem Zusammenhang nicht klar.
Das Verhältnis muss am Ende als Ergebnis einer Argumentationskette stehen und nicht als Voraussetzung am Anfang aus der dann eine Rechtwinkligkeit gefolgert wird, denn diese Rechtwinkligkeit ist durch die Eigenmann-Skizze bereits gegeben.

Nachtrag : zum Teil Überschneidung mit As Kommentar