Aloha :)
Du möchtest folgende Funktion untersuchen:$$h(x)=\frac{x}{\sqrt{1+x^2}}\quad;\quad x\in\mathbb R$$
zu a) Ableitung
Die Ableitung hast du korrekt bestimmt:$$h'(x)=\frac{\sqrt{1+x^2}-x\cdot\frac{2x}{2\sqrt{1+x^2}}}{1+x^2}=\frac{\frac{1+x^2}{\sqrt{1+x^2}}-\frac{x^2}{\sqrt{1+x^2}}}{1+x^2}=\frac{\frac{1}{\sqrt{1+x^2}}}{1+x^2}=\left(\frac{1}{1+x^2}\right)^{\frac32}$$
zu b) Monotonieverhalten
Für alle \(x\in\mathbb R\) gilt \(h'(x)>0\), daher wächst die Funktion streng monoton.
zu c) Bestimmung der Grenzwerte
Hierzu schreiben wir die Funktionsgleichung etwas um:$$h(x)=\frac{x}{\sqrt{1+x^2}}=\frac{\operatorname{sign}(x)\cdot|x|}{\sqrt{1+x^2}}=\frac{\operatorname{sign}(x)\cdot\sqrt{x^2}}{\sqrt{1+x^2}}=\operatorname{sign}(x)\cdot\sqrt{\frac{x^2}{1+x^2}}$$$$\phantom{h(x)}=\operatorname{sign}(x)\cdot\sqrt{\frac{(\pink1+x^2)\pink{-1}}{1+x^2}}=\operatorname{sign}(x)\cdot\sqrt{1-\frac{1}{1+x^2}}$$
Daraus kannst du die Grenzwerte ablesen:$$\lim\limits_{x\to\infty}h(x)=1\cdot\sqrt{1-0}=1\quad;\quad \lim\limits_{x\to-\infty}h(x)=(-1)\cdot\sqrt{1-0}=-1$$
zu d) Wertebereich der Funktion
Aus der Darstellung in (c) folgt sofort:$$\pink{x>0}\implies h(x)=\pink1\cdot\sqrt{1-\frac{1}{1+x^2}}\in(0;1)$$$$\pink{x=0}\implies h(x)=\pink0\cdot\sqrt{1-\frac{1}{1+x^2}}=0$$$$\pink{x<0}\implies h(x)=(\pink{-1})\cdot\sqrt{1-\frac{1}{1+x^2}}\in(-1;0)$$
Damit kannst du die Wertemenge angeben: \(W_h=(-1;1)\)
