Koordinatentransformation in 2D

Question

Aufgabe:

Hallo,

kann ich hier den Skalierungsfaktor für die x-Achse und y-Achse einfach berechnen, indem ich die Diagonalen auf dem Bild der rechten Seite berechne ? Also  dann hätte die Skalierungsmatrix sqrt(2^2 + 1.5 ^2) auf ihrer Diagonalen. Würde mich über jede Hilfe freuen.

Answer 1

Nach dem Drehen und Verschieben nach unten streckt man in x-Richtung mit dem Faktor \( 4 / (\sqrt{2}\cdot 2) \) und in y-Richtung mit dem Faktor \( 3 / (\sqrt{2}\cdot 2) \)

Comments

danke für die Antwort , wie hast du die Faktoren abgelesen ?

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Die Diagonalen beim Bild links sind \( \sqrt{2} \cdot 2 \) lang. Die sollen 4 bzw. 3 lang werden. Abgelesen jeweils an der Achsenbeschriftung.

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ah okay, dann wären in dem Bild unten die Skalierungsfaktoren für y z.B. 2/sqrt(2) und für x dann auch 2/sqrt(2). weil die digonalen ja sich mit der x bzw. y-achse decken, nach der trafo.

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Beachte, dass sich bei der Zusatzfrage der Winkel zwischen den beiden roten Pfeilen verändert. Das ist bei der ursprünglichen Frage nicht der Fall.

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Wie wäre dann in diesem Fall das Vorgehen ?

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WIe lautet bei der Zusatzfrage die vollständige Aufgabe wörtlich?

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Nun wird ein 2D-Objekt durch eine weitere 3 × 3-Matrix

~
M
~
abgebildet. Die Abbildung zeigt, wie der Ursprung und die Standardbasis transformiert werden. Schreiben Sie direkt alle Einträge der Matrix

~
M
~
auf, ohne Berechnungen durchzuführen.

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oh und ich meinte die skalierungsfaktoren sind gleich 1/sqrt(2)

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Die Matrix hat dann wahrscheinlich die Form

\( \begin{pmatrix} a & b & 2 \\ c & d & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \)

mit

\( \begin{pmatrix} a\\c \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} +\frac{1}{2} \\1 \end{pmatrix}  \)     (rechter roter Vektor in zweiter Abbildung)

und

\( \begin{pmatrix} b\\d \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -\frac{1}{2} \\ 1 \end{pmatrix}  \)     (linker roter Vektor in zweiter Abbildung)

Du kannst es ausprobieren, bspw. mit ein paar eindeutigen Punkten bspw. den Koordinaten des linken (aus Betrachterseite) Ohrs /  Horns dieses Tieres:

wobei als dritte Koordinate immer die 1 verwendet wird.

Answer 2

Für das erste Beispiel komme ich zum Vergleich auf folgende Transformationsmatrix

$$M = \begin{pmatrix} 1 & -1 & 3 \\ 0.75 & 0.75 & -2.25 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$$

Für das zweite Beispiel habe ich auch die von döschwo berechnete heraus

$$M = \begin{pmatrix} 0.5 & -0.5 & 2 \\ 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$$

Comments

... habe ich auch die von döschwo berechnete heraus.

Döschwo hat nichts berechnet um M zu finden. Muss man ja auch nicht. Darum steht in der Aufgabe

ohne Berechnungen durchzuführen.

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Döschwo hat nichts berechnet um M zu finden. Muss man ja auch nicht. Darum steht in der Aufgabe

Ohne grundlegende Berechnungen im Kopf kommt man ja nicht aus. Man braucht dazu auch nichts schriftlich rechnen.

Aber z.B. hast du allein Für eine läppische Kontrolle Wolframalpha bemüht.

Punkt (1|0) wird abgebildet auf (0.5|1) kommt in die erste Spalte.

Punkt (0|1) wird abgebildet auf (-0.5|1) kommt in die zweite Spalte.

Verschiebung um 2 und 0 kommt in die dritte Spalte.

Das folgt eigentlich alles einer Berechnung, die nur nicht schriftlich notiert werden muss, weil es trivial ist.

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Ohne grundlegende Berechnungen im Kopf kommt man ja nicht aus.

Doch. Darum steht in der Aufgabe

ohne Berechnungen durchzuführen.

Also weder im Kopf ohne Papier, noch Papier mit Kopf, noch Whiteboard, noch elektronisch. Sondern ablesen an den roten Vektoren.

(ich sehe gerade, Du hast Deinen Kommentar noch ergänzt. Wir scheinen uns einiger zu sein als vor der Ergänzung. Wiewohl ich immer noch der Meinung bin, nichts gerechnet zu haben.)