Bestimmen Sie nun mit dem Newtonverfahren näherungsweise (einen Kandidaten für) die Maximalstelle der Funktion

Question

Aufgabe:

1 a) Lösen Sie die Gleichung

\(\displaystyle x^{2} 2^{-x}=1 \)

näherungsweise mit dem Newtonverfahren. Verwenden Sie dabei die 2 Startwerte \( x_{0}=1 \) und \( x_{0}=5 \) und berechnen Sie jeweils \( x_{1}, \; x_{2}, \; x_{3} \).

b) Bestimmen Sie nun mit dem Newtonverfahren näherungsweise (einen Kandidaten für) die Maximalstelle der Funktion \( x^{2} 2^{-x} \) im Intervall \( \left[0, \infty\left[\right.\right. \). Starten Sie mit \( x_{0}=2 \) und berechnen Sie wieder \( x_{1}, \; x_{2}, \; x_{3} \).

Problem/Ansatz:

Ich habe nur eine Frage zu b) Ist das so gemeint, dass man die 1. Ableitung gleich 0 setzen soll und dann mit dem Newtonverfahren Näherungswerte berechnen. Das bedeutet ja, dass ich die 2 Ableitung der Funktion auch brauche oder?

Answer 1

1 a)

Es geht um die Nullstellen der Funktion

f(x) = x^2 / 2^x - 1
f'(x) = (2·x - LN(2)·x^2) / 2^x

Newton Iterationsformel
x(n + 1) = x(n) - f(x(n)) / f'(x(n))

x(0) = 1
x(1) = 1 - f(1) / f'(1) ≈ 1.7652
x(2) = 1.7652 - f(1.7652) / f'(1.7652) ≈ 1.9719
x(3) = 1.9719 - f(1.9719) / f'(1.9719) ≈ 1.9995
x(3) = 1.9995 - f(1.9995) / f'(1.9995) ≈ 2.0000

Da f(2) = 0 ist dies offensichtlich eine Lösung.

x(0) = 5
x(1) = 5 - f(5) / f'(5) ≈ 4.0448
x(2) = 4.0448 - f(4.0448) / f'(4.0448) ≈ 4.0004
x(3) = 4.0004 - f(4.0004) / f'(4.0004) ≈ 4.0000

Da f(4) = 0 ist dies ebenso eine Lösung.

Comments

Ich habe nur eine Frage zu b) Ist das so gemeint, dass man die 1. Ableitung gleich 0 setzen soll und dann mit dem Newtonverfahren Näherungswerte berechnen.

Ja genau so sollst du das machen.

g(x) = (2·x - LN(2)·x^2) / 2^x
g'(x) = (LN(2)^2·x^2 - 4·LN(2)·x + 2) / 2^x

x(0) = 2
x(1) = 2 - g(2) / g'(2) ≈ 2.7561
x(2) = 2.7561 - g(2.7561) / g'(2.7561) ≈ 2.8801
x(3) = 2.8801 - g(2.8801) / g'(2.8801) ≈ 2.8854

Hier noch ein Graph der betrachteten Funktion