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Aufgabe:

x * e = 15

eigentlich is es mir vollkommenmd egal wie man eslöst ich werde nach einer Rechnung verstehen.

von
ich würde dies gern mit dem newton verfahren machen,

Ach, auf einmal...

Davon war vorhin noch keine Rede.

Wenn du es mit dem Newton-Verfahren machen möchtest - tu es doch einfach.

Wenn du das Newton-Verfahren nicht kannst, ist dein Wunsch vielleicht nicht die beste Wahl. Dann könntest du die Lösung immer noch mit Intervallhalbierung eingrenzen.

3 Antworten

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Aloha :)

Das Newton-Verfahren eignet sich zur Bestimmung von Nullstellen einer Funktion. Daher schreiben wir$$x\cdot e^x=15$$in Form einer Funktion$$f(x)=x\cdot e^x-15$$und suchen ihre Nullstelle(n).

Beim Newton-Verfahren startet man mit einer Schätzung \(x_0\) für die Nullstelle. Für diesen Punkt \(x_0\) berechnet man die Tangente an die Funktion \(f(x)\), das heißt$$t_{x_0}(x)=f(x_0)+f'(x_0)\cdot(x-x_0)$$und prüft, wo diese Tangente die \(x\)-Achse schneidet, indem man sie gleich \(0\) setzt und nach \(x\) auflöst:

$$\left.f(x_0)+f'(x_0)\cdot(x-x_0)\stackrel{!}{=}0\quad\right|\;-f(x_0)$$$$\left.f'(x_0)\cdot(x-x_0)=-f(x_0)\quad\right|\;:f'(x_0)$$$$\left.x-x_0=-\frac{f(x_0)}{f'(x_0)}\quad\right|\;+x_0$$$$\left.x=x_0-\frac{f(x_0)}{f'(x_0)}\quad\right.$$Dieses \(x\) nimmt man als neuen Näherungswert für die Nullstelle. Diese Berechnung wiederholt man so lange, bis die Nullstelle hinreichend genau bestimmt wurde. Zusammengefasst heißt das:$$\boxed{x_{n+1}=x_n-\frac{f(x_n)}{f'(x_n)}\quad;\quad x_0=\mbox{Startwert}}$$In dem konkreten Fall ist$$f'(x)=e^x+x\cdot e^x$$und die Iterationsschritte im Newton-Verfahren lauten:$$x_{n+1}=x_n-\frac{x_n\cdot e^{x_n}-15}{e^{x_n}+x_n\cdot e^{x_n}}=x_n-\frac{x_n-15\cdot e^{-x_n}}{1+x_n}=\frac{x_n^2+15\cdot e^{-x_n}}{1+x_n}$$Ausgehend vom Startwert \(x_0=2\) konvergiert die Folge sehr schnell:$$x_0=2$$$$x_1=2,01000975$$$$x_2=2,009943562$$$$x_3=2,009943559$$

von 30 k

Könntest du dies mir auch mit der lamberschen W Funktion einmal darstellen, bitte.

Woher wusstest du das der Startwert 2 sein muss?

Du kannst doch sicher

1 * e^1 < 3
2 * e^2 < 18
3 * e^3 < 81

abschätzen. Wenn ja dann macht es vermutlich sinn als erstes rund um die 2 zu testen oder nicht?

Aber die Werte können doch auch negativ sein?

Wenn x negativ ist kann dann ein Wert von 15 herauskommen der ja positiv ist?

Nein aber wie kann ich hier diesen Startwert bestimmen für das Newton Berfahren:

e^x -2x = -3

Da der Graph vom II in den I Quadranten verläuft könntest du mal mit dem Minimum anfangen und schauen ob das überhaupt unter -3 liegt. Das würde ich rein gefühlsmäßig verneinen.

Also würde ich vermuten das die Gleichung keine Lösung hat.

f(x) = e^x - 2·x
f'(x) = e^x - 2 = 0 --> x = LN(2) = 0.6931

f(LN(2)) = 0.6137 > 0 → Die Funktion hat also nicht mal Nullstellen.

Ups ich meine 2 hoch x

Über den Startwert \(x_0=2\) habe ich gar nicht so viel nachgedacht. Ich habe grob überschlagen, dass \(e\approx 3\) ist. Dann ist \(2\cdot3^2\approx18\). Ein negativer Startwert wäre Unsinn, weil die e-Funktion immer \(>0\) ist, muss \(x>0\) sein, damit das Produkt \(15\) werden kann. Das Newton-Verfahren konvergiert sehr schnell gegen eine Nullstelle und hätte bei dieser konkreten Aufgabe vermutlich auch mit negativen Startwerten funktioniert. Das habe ich aber nicht geprüft.

Das Lambertsche Verfahren kenne ich nicht... habe es auch noch nie gebraucht. Wenn du es benötigst, kann ich mir das aber mal anlesen.

Ja das lambersche Verfshrne wäre toll

+2 Daumen

x * e^ x = 15

x = lambertW(15)

x ≈ 2.009943559

von 19 k

Danke aber wie kommst du mit w(15) auf die Zahl?

Ich habe dazu die Funktion "lambertW()" meines CAS benutzt; es gibt auch Taschenrechner, die diese Funktion kennen. Die Lambertsche W-Funktion ist die Umkehrung der Funktion y=x*e^x. Der Zugriff auf ihre Werte erfolgt über Tabellen oder rechnergestützte Hilfsmittel. Mehr dazu findest du zum Beispiel hier:

https://kilchb.de/faqmath3.php

+1 Daumen

EDIT: Originalfrage war "Aufgabe: x * e^x  = 15 Keine Anhung wie ich dies lösen soll?" Hier die Antwort darauf:

Das geht nur mit einem Näherungsverfahren oder mit einem grafikfähigen Taschenrechner oder mit CAS.


PS: Ist das die Originalaufgabe?

von 12 k

Ja da steht ich soll es näherungsweise berechnen?

Kannst du dann mal die vollständige Aufgabe einschließlich des Stoffzusammenhangs mitteilen?

da gibt es nichts

@Gast az0815

Ursprünglich hatte er gefragt, wie man die Gleichung löst. Nach meiner Antwort

Das geht nur mit einem Näherungsverfahren oder mit einem grafikfähigen Taschenrechner oder mit CAS.


PS: Ist das die Originalaufgabe?

hat er die plötzlich die Fragestellung abgeändert in den Wusch, das mit dem Newton-Verfahren zu lösen.

ja weil ihr fragt und keine antowrt gibttt

Nachdem du deine Fragestellung noch mal so verändert hast:

eigentlich is es mir vollkommenmd egal wie man eslöst ich werde nach einer Rechnung verstehen.


Es is mir vollkommenmd egal ob du vielleicht jemand findest der eslöst ich werde es nichttun.

Gute Nacht.

Bevor ich wirklich zu Bett gehe:

Du hast den Titel NOCHMAL umformuliert, diesmal in

expoentialgleichungen..... mit dem Newton verfahren/lambersches verfahren

Die beiden Rechtschreibfehler in dem Wort "Exponentialgleichungen" sind noch drin.

Dass du jetzt noch ein zweites Verfahren (neben Newton) aus dem Ärmel schüttelst (der Mann heißt übrigens nicht Lamber) ist schon dreist. Eine ständige Veränderung des Themas bzw. der Fragestellung kommt bei potentiellen Antwortgebern meist nicht so gut an. Aber wie gesagt: Ich bin jetzt raus.

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