Mein Eigenmann Vorschlag 4711

Question

Gegeben ist ein goldenes Rechteck (Seitenverhältnis √5+1)/2) ABCD mit E auf BC (kürzere Seite) und F auf CD (längere Seite). Dreiecke, welche zwei Katheten auf dem Rand des Rechtecks haben (ABE, ECF, FDA), besitzen das Flächenmaß (√5+1)/4. Welche Größe hat der Winkel ACF?

Comments

ABF hat keine zwei Katheten auf den Rechteckseiten.

"Goldenes Rechteck" ist zu unkonkret. Welche der beiden Rechteckseiten ist die längere?

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abakus, Dank für deine Hinweise. Habe entsprechende Änderungen und Ergänzungen vorgenommen.

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Das ist kein Eigenmann, sondern ein Rolandmann!  :)

Answer 1

Die Größe des Winkel ACF hat nichts mit dem ganzen Teildreiecksgedöns zu tun.

Der Winkel ACF ist der Winkel zwischen der Diagonale eines goldenen Rechtecks und der längere Rechtecksseite.

Dann gilt tan(∠ACF) = \( \frac{1}{\frac{\sqrt{5}+1}{2}} \) =  \( \frac{2}{\sqrt{5}+1}\).

Das ergibt rund 31,7°.

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Zur Klärung meiner Frage:

Gesucht ist die Größe von α.

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Kann man ein goldenes Rechteck mit dem genannten Flächeninhalt der drei Dreiecke zeichnen?

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Ein Goldenes Rechteck ist - wie ich klarstellte - jedes Rechteck mit einem Seitenlängenverhältnis (√5+1)/2.

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Das ist mir schon klar.

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In meinem goldenen Rechteck befinden sich die vier Dreiecke ABE, ECF, FDA und FEA. Der Flächeninhalt von FEA ist nicht gegeben!

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Herrjesses, meine Software hat aus einer Variablen e das Eulersche e gemacht... sorry.

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Soweit alles richtig. Ich fragte nach der Winkelgröße von α.

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Soweit alles richtig. Ich fragte nach der Winkelgröße von α.

Winkel α ist der Winkel AFE oder nicht?

Warum steht in der Aufgabe immer noch

Welche Größe hat der Winkel ACF?

Answer 2

\( \displaystyle \overline{EF\vphantom{\big|}} = \sqrt{\frac{1}{2}(5+\sqrt{5})} \)

\( \displaystyle \overline{AF\vphantom{\big|}} = \sqrt{\frac{1}{2}(5+\sqrt{5})} \)

\( \displaystyle \overline{AE\vphantom{\big|}} = \sqrt{5+\sqrt{5}} \)

Mit dem Cosinussatz komme ich auf \( \alpha = 120^\circ \)

Comments

Beim Kosinussatz ist etwas schief gegangen.

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zweiter Versuch: 90 Grad. Geht eigentlich auch im Kopf, weil 90 Grad.

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Nun ist deine Antwort endlich richtig - es war eine schwere Geburt.

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Nun ist deine Antwort endlich richtig - es war eine schwere Geburt.

Eine schwere Geburt war wohl eher, nach zwei Rückfragen endlich eine fehlerfreie Aufgabenstellung zu bekommen.

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abakus, natürlich hast du recht. Es gab zwei schwere Geburten.

Answer 3

Ausgehend von

(die Berechnung der Seiten dürfte aufgrund des goldenen Schnitts ja unproblematisch sein) folgt \( \alpha=90^{\circ}\) sofort aus der Kongruenz der Dreiecke \(FEC \) und \( DAF \) unter Anwendung der Winkelsumme im Dreieck.

Comments

unproblematisch ja, aber auch so trivial, dass die Lösung auch ohne Herleitung vollständig ist ?