Eigenmann Aufgabe #160 / Teil 1

Question

Aufgabe:

Eigenmann Aufgabe #160 / Teil 1

Ohne Taschenrechner; die Figuren sind nicht maßgetreu.

Paul Eigenmann, Aufgabe 1.4.160, ISBN 3-12-722310-2, 1981, S. 23.

Problem/Ansatz:

wie vorgehen?

Comments

wie vorgehen?

Wie gehst du denn vor?

Suchst du nach rechtwinkligen Dreiecken, bei denen man den Satz von Pythagoras anwenden könnte?

Suchst du nach ähnlichen Figuren, bei denen man Seitenverhältnisse aufstellen kann?

Nach gefühlten 50 Eigenmann-Aufgaben sollte man doch merken, dass die Lösungsansätze sich eigentlich alle auf zwei handvoll Grundkonzepte zurückführen lassen?

Im Optimalfall hast du einen Zettel mit diesen Grundkonzepten neben dir liegen, wenn du an eine neue Eigenmann-Aufgabe herangehst.

---

Eigenmann hat auch Lösungen mitgeliefert. Zu dieser Aufgabe schrieb er:

[spoiler]

\(\displaystyle 18 \, \text{cm} \)

[/spoiler]

(eingangs zitiertes Werk, S. 57)

Answer 1

Mit Höhensatz

x·(50 - x) = 24^2 → x = 18

Mit dem Satz des Pythagoras

(24^2 + x^2) + (24^2 + (50 - x)^2) = 50^2 → x = 18

(Die zweite Lösung ist jeweils die symmetrische Lösung x = 50 - 16 = 32)

Zugehörige Skizze:

Comments

Die Variante Höhensatz ist genial.

Answer 2

Wenn man das linke Teilstück der unteren Seitenlänge a nennt:

\( 25^2 + a^2 - ((24-a)^2+(25-x)^2) = 24^2 + x^2 \)

\( 25 / a = (25-x) / (24-a)  \)

\( \Longrightarrow x = 18 \)

Comments

Statt der ersten Pythagoras-Gleichung kannst die zweite auch mit ... = 24 / x fortsetzen.

---

Ja, danke, ist einem Fragesteller aber vielleicht nicht unmittelbar einsichtig.

Des Mathecoachens Variante mit dem Höhensatz "out of the box" gefällt mir besser.

---

Anbei die erweiterte Graphik, die auch die Kennzeichnung des von Dir benutzten Teilstückes a zeigt.

Das untere Rechteck ist das an dieser Geraden gespiegelte obere Rechteck. Dass die gespiegelte Strecke m  zusammen mit der kurzen Strecke s als Seite eines neuen großen rechtwinkligen Dreiecks verwendbar ist, hat Eigenmann mit der zweifachen Postionierung des Winkels α gesichert, Die originale Strecke m hat keine weitere Bedeutung (auch nicht das mit ihr und den Strecken s und m gebildete rechtwinklige Dreieck).

Answer 3

Wenn man das linke Teilstück der unteren Seitenlänge a nennt:

dann gilt für die drei äußeren ähnlichen Dreiecke

(1)   a:25=(24-a):(25-x)

(2)    a:25=x:24   und somit a=25x:24.

Einsetzen von (2) in (1) ergibt

x/24 = (24- 25x/24)/(25-x)

Das hat die Lösungen x=18 und x=32.

Wegen x<25 entfällt die zweite Lösung (die aber entartet auch funktionieren würde).