Berechne Integral mit Riemann Integral

Question

Berechne ∫_a^b x^m dx, wobei a < b und m ≠ -1, durch Interpretation als Grenzwert einer Riemannschen Summe.

Lösung

Wir zerlegen das Intervall [a,b] in n gleich große Teilintervalle.

Δx = (b - a) / n

Als rechte Stützstellen wählen wir

x_i = a + iΔx = a + i(b - a)/n

Dann ist die zugehörige Riemannsumme

∑_i=1ⁿ f(x_i)Δx = ∑_i=1ⁿ (a + i(b - a)/n)^m · (b - a)/n

Also gilt

∫_a^b x^m dx = lim_n→∞ ∑_i=1ⁿ (a + i(b - a)/n)^m · (b - a)/n Wie könnte man hier genau weiterverfahren um den Grenzwert zu bestimmen?

Comments

Mit Deinem Ansatz sehe ich kein Weiterkommen. Versuche es mal mit den Intervall-Punkten

$$x_i:=a\left(\frac{b}{a}\right)^{i/n}, i=0,1,2, \ldots n$$

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Wird aber problematisch, wenn \(a=0\) oder \(b=0\) ist.

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Ja. Ich hatte tatsächlich nur an den Fall 0<a<b gedacht, auch wegen der Wurzeln.

Answer 1

Ich gebe dir mal die vereinfachte Rechnung für den Fall \(a=0\) (und schreibe \(f(x)=x^c\), weil ich den Exponenten optisch klar von den Summenindizes trennen will). Daraus solltest du den allgemeinen Fall herleiten können, er ist nur deutlich mehr Schreibarbeit.

\(S_n(f,0,b)=\sum\limits_{k=1}^{n}\frac{b}{n}\cdot \left(\frac{bk}{n}\right)^c\\= \frac{b^{c+1}}{n^{c+1}}\sum\limits_{k=1}^{n}k^c.\)

Jetzt bleibt nur noch übrig zu erwähnen, dass \(\sum\limits_{k=1}^{n}k^c\sim\frac{n^{c+1}}{c+1}+O(n^c)\), dann wärst du fertig.

Falls das kein Lemma in eurer Vorlesung ist, es lässt sich leicht per Induktion über \(c\) beweisen. Schreibe im Induktionsschritt \(k^{c+1}=(k+1)^{c+1}-\sum\limits_{l=0}^{c}{c+1\choose l}k^l\) und führe einen Indexshift durch, dann nutze Summandenweise die IV und schau dir nur noch den obersten Summanden an.

Für allgemeine \(a,b\) musst du erst einmal den binomischen Lehrsatz benutzen und etwas Dinge umherschieben, bevor du diesen Fakt verwendest. Aber der obere Fakt ist immer der Knackpunkt.

Comments

Setzt du \(c\in\N\) voraus?

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Das habe ich hier, ja. Der negative Part, falls gefragt, braucht etwas Care.