In einer Fabrik sind 5 von 25 hergestellten Teilen fehlerhaft.

Question

Aufgabe:

In einer Fabrik sind 5 von 25 hergestellten Teilen fehlerhaft.

Wenn drei Teile nach dem Zufallsprinzip und ohne Zurücklegen ausgewählt werden, wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass das ausgewählte dritte Teil fehlerhaft ist?

Problem/Ansatz:

Kann mir hier bitte jemand helfen. Ich habe mit einem Baum angefangen, aber verliere die Übersicht. Wie rechnet man das hier?

Comments

Interessanterweise ist das Ergebnis dasselbe, als wenn Du beim ersten Mal ein fehlerhaftes Teil ziehst, also 5/25=0,2

Das liegt daran, dass du keinerlei Information über die ersten beiden Ziehungen hast und ohne zurücklegen gearbeitet wird.

Mit anderen Worten nach z.B. zwei oder vier Ziehungen käme auch 0,2 heraus.

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Ich verstehe zwar nicht genau wieso, aber es scheint zu stimmen.

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Stell dir vor, ich mische ein Skat-Kartenspiel (32 Blatt).

Nun lege ich die Karten einzeln mit der Bildseite nach unten vor dir aus.

Wenn ich jetzt auf eine Karte zeige und nach der Wahrscheinlichkeit frage, mit der diese Karte ein Ass ist, wirst du vermutlich mit 4/32 = 1/8 antworten.

Das wäre völlig richtig und dabei ist es egal, ob ich die Karte an die erste, dritte oder letzte Stelle auf den Tisch gelegt habe.

Auch ändert sich die Wahrscheinlichkeit nicht, wenn ich nicht alle Karten auf den Tisch lege, sondern nur 5.

Jede dieser 5 Karten ist dann mit einer Wahrscheinlichkeit von 1/8 ein Ass.

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Ich habe mit einem Baum angefangen, aber verliere die Übersicht.

Wo bzw. warum verlierst du die Übersicht?

Wie sieht dein Diagramm bisher aus?

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Hier ist ein mögliches Baumdiagramm

P(3. Teil fehlerhaft) = 1900/13800 + 400/13800 + 400/13800 + 60/13800 = 1/5 = 0.2

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@beachboym: Ich hatte mich einfach dauernd verrechnet.

@mathecouch: dein beispiel ist aber anders, hier wurde bereits zweimal gezogen und dann ist die Wahrscheinlichkeit für ein fehlerhaftes Teil anders, wenn die ersten beiden gezogenen auch fehlerhaft waren als wenn die beiden ersten ok waren. Eben so wie man das beim Baumdiagramm genau rechnet.

Warum sich das alles wunderbar aufhebt und am Ende immer 0,2 ergibt, leuchtet mir nicht ein‚ obwohl es ja wohl stimmt.

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dein beispiel ist aber anders, hier wurde bereits zweimal gezogen und dann ist die Wahrscheinlichkeit für ein fehlerhaftes Teil anders, wenn die ersten beiden gezogenen auch fehlerhaft waren als wenn die beiden ersten ok waren.

ich schrieb das es egal ist an wievielter stelle man die Karte auf den Tisch gelegt hat:

dabei ist es egal, ob ich die Karte an die erste, dritte oder letzte Stelle auf den Tisch gelegt habe.

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In deinem Beispiel ziehst du ein einziges Mal eine Karte, in der Aufgabe ziehst Du ein drittes mal und es wurde vorher bereits zweimal ohne zurücklegen gezogen.

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Ok, fairer Punkt. Also anders:

Stell dir vor die 25 Stücke sind auf 25 Plätze verteilt. Wo die defekten sind ist zufällig. Du willst wissen, wie groß die Wahrscheinlichkeit ist, dass auf Platz 3 ein fehlerhaftes Teil ist. Es gibt insgesamt 25 über 5 Möglichkeiten die fehlerhaften zu verteilen. Wenn Platz 3 fehlerhaft ist, müssen sich die anderen 4 auf 24 Plätze verteilen. Die Wahrscheinlichkeit  ist dann Anzahl günstige durch Anzahl mögliche also 24 über 4 dividiert durch 25 über 5 und das ergibt genau 1/5.

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Super, danke! Diese Rechnung verstehe ich (glaube ich).

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Also ist auch die Wahrscheinlichkeit, dass das 25. gezogene Teil fehlerhaft ist, 0,2. das ist witzig…

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Also ist auch die Wahrscheinlichkeit, dass das 25. gezogene Teil fehlerhaft ist, 0,2. das ist witzig…

Richtig. Aber du darfst dir die vorher gezogenen 24 Teile nicht ansehen. Du darfst also nichts über deren Zustand wissen, also ob die Teile defekt sind.

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Hat was von Schrödingers Katze

Answer 1

Es bedeute G "gut" und F "fehlerhaft".

Berechne die Pfadwahrscheinlichkeiten GGF, GFF, FGF und FFF.