Bestimmen Sie den Wert von a bei den Integralen

Question

Aufgabe:

Gegeben ist die Funktion f mit \( f(x)=2 \ln \left(\frac{x}{2}\right)+2 \) mit maximaler Definitionsmenge.
a) Begründen Sie, dass \( f \) umkehrbar ist.
b) Bestimmen Sie einen Term der Umkehrfunktion \( \overline{\mathrm{f}} \).
c) Es gilt: \( \int \limits_{0}^{2}(2-\bar{f}(x)) d x=\int \limits_{a}^{2} f(x) d x \)
Bestimmen Sie den Wert von a.

Problem/Ansatz:

Ich habe a) und b) gemacht und ich weiß, das bei c) a = 2/e herauskommt. Wenn ich die beiden Integrale löse und gleichsetze komme ich am ende auf eine Gleichung der Form \( \frac{1}{e} \) = -z·ln(z) mit z=a/2

Wie löst man so etwas? Dass 1/e diese Gleichung erfüllt, kann man sehen. Also scheint bis hierhin alles richtig zu sein.

Comments

Statt über die Integrale zu gehen ist es wohl einfacher, geometrisch über eine Skizze und mit den Eigenschaften der Umkehrfunktion zu argumentieren.

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Irgend etwas mache ich falsch, dass ich auf keine reelle Lösung komme. Kann mir jemand sagen, was?

c)

\( \displaystyle \underbrace{2 \cdot (2 + \ln(4) - 2 \; \log(2))\vphantom{\lim\limits_{x\to 0}}}_{\text{Stammfunktion oben}} - \underbrace{\overbrace{\lim\limits_{x\to 0} \; x \cdot (2 + \ln(4) - 2 \; \ln(x))}^{=0}}_{\text{Stammfunktion unten}}  \\\\\\ = \underbrace{2\cdot2 \cdot \ln(2/2)}_{\text{Stammfunktion oben}}  - \underbrace{2a \cdot \ln(a/2)}_{\text{Stammfunktion unten}} \)

\( \displaystyle \Longrightarrow \quad 4 - 0 = 0 - 2a \cdot \ln(a/2) \)

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Für das linke Integral mit der Umkehrfunktion habe ich \( \frac{4}{e} \)  heraus.

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Nach obiger Skizze ist a die Nullstelle von f(x) oder der y-Achsenabschnitt der Umkehrfunktion.

a = f^-1(0) = 2·e^(x/2 - 1) = 2/e ≈ 0.7358

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\( \begin{array}{l}\underbrace{2 \cdot(2+\ln (4)-2 \log (2))}_{\text {Stammfunktion oben }}-\underbrace{\overbrace{\lim \limits_{x \rightarrow 0} x \cdot(2+\ln (4)-2 \ln (x))}^{=0}}_{\text {Stammfunktion unten }} \\ =\underbrace{2 \cdot 2 \cdot \ln (2 / 2)}_{\text {Stammfunktion oben }}-\underbrace{2 a \cdot \ln (a / 2)}_{\text {Stammfunktion unten }} \\ \Longrightarrow 4-0=0-2 a \cdot \ln (a / 2)\end{array} \)

Hier verstehe ich einiges nicht, log statt ln? x gegen 0? Die untere Grenze bei f(x) ist doch a? Die nächste Zeile ist dann wieder ok, da taucht dann auch wieder das ‚a‘ auf.

Das fehlende ‚e’ links im Nenner wurde vom FS ja schon erwähnt.

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Danke für den Hinweis zur Lösung über die Umkehrfunktion!

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Übrigens: Es gibt eine Formel für den Zusammenhang von Integral über die Umkehrfunktion und Integral über die Funktion. Diese führt hier auch zu einer "direkten" Lösung.

Interessant ist nun, dass die Google-Suche mit dem Stichwort "Integral Umkehrfunktion" als KI-Antwort eine falsche Formel produziert. In dem angegebenen Wikipedia Artikel steht es dann richtig.

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... das linke Integral mit der Umkehrfunktion

Ahso, danke. Hatte das Strichlein über dem f nicht gesehen.

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Man könnte verwenden: ln(x/2) = ln(x) - ln(2)

Answer 1

Man könnte mal die Ableitung bilden: h'(z) = -ln(z) -1 hat bei 1/e einen Nulldurchgang.

Und h(1/e) = 1/e

Comments

Könntest du erläutern, was die Nullstelle der ersten Ableitung mit der Lösung der Gleichung zu tun hat?

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Ist vielleicht Zufall.

Um mir klar zu werden, was das für eine Funktion ist, habe ich mal die Ableitung gebildet und das Maximum bestimmt.

$$h(z) = -z lnz$$

Maxiumum: -lnz=1

$$=> h(z) = z$$

Answer 2

Für das linke Integral mit der Umkehrfunktion habe ich 4/e heraus.

Das ist richtig.

4/e = - 2·a·ln(a/2)

Subst. a/2 = e^x --> a = 2·e^x

4/e = - 2·(2·e^x)·ln(e^x)

4/e = - 4·e^x·x

x = -1

a = 2/e

Comments

Wie löst man so etwas? Dass 1/e diese Gleichung erfüllt, kann man sehen.

Einen Mehrwert bietet deine Antwort nicht und auf die gestellte Frage geht man natürlich nicht ein, denn der letzte Schritt bei dir beinhaltet letztendlich auch nur ein "kann man sehen".

Answer 3

\( \displaystyle \underbrace{\overbrace{2 \cdot 2 - 4 \cdot \sqrt{e^{2-2}}}^{=0}}_{\text{Stammfunktion oben}} - \underbrace{\overbrace{2 \cdot 0 - 4 \cdot \sqrt{e^{0-2}}}^{=-4/e}}_{\text{Stammfunktion unten}} \\\\\\ = \underbrace{\overbrace{2\cdot2 \cdot \ln(2/2)}^{=0}}_{\text{Stammfunktion oben}} - \underbrace{2a \cdot \ln(a/2)}_{\text{Stammfunktion unten}} \)


\( \displaystyle \\\\ \Longrightarrow \quad \frac{4}{e} = - 2a \cdot \ln(a/2) \quad \quad \quad : \; (-4) \\\\ \Longrightarrow \quad -\frac{1}{e} = \frac{1}{2}a \cdot \ln(a/2) \quad \quad \quad a = 2x \\\\ \Longrightarrow \quad -\frac{1}{e} = x \cdot \ln(x) \\\\ \Longrightarrow \quad x = \frac{1}{e} \\\\ \Longrightarrow \quad a = \frac{2}{e} \)

Comments

Mehrwert? Bezug zur gestellten Frage? Das hat der FS doch alles schon.

Answer 4

Bei a) musste halt zeige, dass de f bijketiv ist:

Injektiv: 2 ln(x/2) + 2 = 2 ln(y/2) + 2

<=> ln(x/2) = ln(y/2) <=> x/2 = y/2 <=> x = y

Surjektiv: Ja f ist offenbar stetig und es gilt für x wachsend f(x) —> inf (weil ln(x) —> inf) und für x —> 0 dann f(x) —> -inf (weil ln(x) —> -inf).

Damit also eine Bijektion und somit umkehrbar!!!

Bei b) löse die Gleichung 2 ln(x/2) + 2 = y nach x mit exp und seinen Rechenregeln und setzte x = f^(-1)(y).

c) Ja setzte f^(-1)(x) und f(x) in das Integral ein und rechne halt damit weiter.

Comments

Nach a) und b) wurde nicht gefragt und den "Tipp" zu c) kann man sich sparen. Auf das konkrete Problem wurde also überhaupt nicht eingegangen.

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Soll ich es bei c) komplett vorrechnen?

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Nein danke, abschreiben können wir selbst