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Aufgabe:

Wenn B und B’ die Eckpunkte der kleinen Achse einer Ellipse E mit Zentrum O sind,

- t ist die Tangente an E in B’

- t’ ist die Tangente an E in einem beliebigen Punkt der Ellipse P

- t und t’ schneiden sich im Punkt Q

zeige, dass die Geraden OQ und BP parallel sind.

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Hallo

nimm och einfach die Ellipse x2/a2+y2/b2, dann ist t: y=-b

die Tangente in (x1,y1)  ist  xx1/a2+yy1/b2=1 schneide sie mit t das ist leicht, dann Steigung  von (x1,y1) zu (0,b) und  vom Nullpunkt zu Q.

Gruß lul

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Du musst die Geradengleichung zu f(x) bestimmen. Dann hast du alle Punkte und kannst die Parallelität beweisen.

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Ellipse x2a2+y2b2=1 \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2} =1

Tangente hat die Gleichung y=-b

Tangente in (xo,yo)  ist

xx0a2+yy0b2=1 \frac{x\cdot x_0 }{a^2}+\frac{y \cdot y_0 }{b^2} =1

Schneiden mit t gibt

xx0a2+by0b2=1 \frac{x\cdot x_0 }{a^2}+\frac{-b \cdot y_0 }{b^2} =1

<=> xx0a2+y0b=1 \frac{x\cdot x_0 }{a^2}+\frac{-y_0 }{b} =1

<=> x=(1+y0b)a2x0 x = ( 1 + \frac{ y_0 }{b}) \cdot \frac{a^2 }{x_0}

Die Gerade durch 0 und den Schnittpunkt hat dann die Steigung

m1=b(1+y0b)a2x0 m_1 = \frac{-b }{ ( 1 + \frac{ y_0 }{b}) \cdot \frac{a^2 }{x_0} }

Und die durch  (0;b) und (xo ; yo) hat die Steigung

m2=by0x0 m_2 = \frac{b-y_0 }{ x_0 }

Gleichsetzen von m1 und m2 führt auf

x02a2+y02b2=1 \frac{x_0^2}{a^2}+\frac{y_0^2}{b^2} =1 , also dass (xo;yo) 

Punkt der Ellipse ist, und davon ging man ja aus.

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