Standardabweichung und Mittelwert berechnen?

Question

Aufgabe:

Standardabweichung und Mittelwert berechnen?

(das hier ist keine fotografierte Buchseite)

Für das arithmetische Mittel einer Datenreihe \( x_{1}, \; x_{2}, \; \ldots \; x_{24} \) gilt: \( \bar{x}=115 \). Die Standardabweichung der Datenreihe ist \( s_{x}=12 \). Die Werte einer zweiten Datenreihe \( y_{1}, \; y_{2}, \; \ldots \; y_{24} \) entstehen, indem man zu den Werten der ersten Datenreihe jeweils 8 addiert, also \( y_{1}=x_{1}+8, \; y_{2}=x_{2}+8 \) usw.

Gib den Mittelwert \( \bar{y} \) und die Standardabweichung \( s_{y} \) der zweiten Datenreihe an.

Problem/Ansatz:

1. also zum ersten (Mittelwert y): wir haben gelernt, dass in dem Fall, dass das arithm. Mittel bereits angegeben ist, einfach dieser Wert mit n, also der Anzahl der Daten multipliziert werden muss, um die Summe der Daten zu berechnen. Daraus habe ich dann eben 116,6 berechnet. Mir stehen für das aber leider keine Lösungen zur Verfügung, also wollte ich wissen, ob das so stimmt.

2. Zum zweiten: Gibt es in diesem Fall auch so einen Trick wie oben, oder wie kann man das berechnen?

Comments

Daraus habe ich dann eben 116,6 berechnet.

Wie das?

Gibt es in diesem Fall auch so einen Trick

Es braucht hier in beiden Fällen keine Tricks, sondern nur ein Verständnis dafür, was ein Lage- und ein Streuungsmaß ist. Eine einfache Rechtsverschiebung der Verteilung ändert ja nichts an der Streuung.

Answer 1

Der einfachste Weg, sich 24 Werte auszudenken, deren Mittelwert 115 und deren Standardabweichung 12 beträgt, ist:

Man nimmt 24/2 = 12 Werte von 115 - 12 = 103 und 12 Werte von 115 + 12 = 127

Mittelwert
(12·103 + 12·127)/24 = 115

Standardabweichung
√((12·(103 - 115)^2 + 12·(127 - 115)^2)/24) = 12

Wenn wir jetzt zu jedem Wert 8 addieren hat man 12 Werte von 111 und 12 Werte von 135.

Davon könntest du recht einfach erneut den Mittelwert und die Standardabweichung bestimmen.

Mittelwert
(12·111 + 12·135)/24 = 123 = 115 + 8

Standardabweichung
√((12·(111 - 123)^2 + 12·(135 - 123)^2)/24) = 12

Man sieht zumindest, dass sich bei diesen Daten der Mittelwert um 8 erhöht und die Standardabweichung konstant bleibt.

Dass es bei bestimmten Daten der Fall ist, heißt zwar nicht, dass es allgemein gilt. Aber man kann das auch für beliebige Daten allgemein zeigen.

Answer 2

$$\overline{y}=\overline{x}+8=\cdots$$$$s_y=s_x+8=\cdots$$

Comments

\( s_{y}=s_{x}+8=\cdots \)

Wirklich?

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Autsch ......

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Sollte vermutlich nur \(s_y = s_x\) lauten.

Answer 3

Ich nehma mal 24 Werte für x so, dass sie Mittelwert 115 und empirische Standardabweichung 12 haben.

Dann addiere ich zu jedem Wert 8 und rechne Mittelwert und Standardabweichung wieder aus:

Comments

Ich finde es interessant, dass du die Stichprobenstandardabweichung und nicht die Standardabweichung benutzt.

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Das geht m.E. aus der Aufgabe hervor.

Die Fragestellerin kann auch die Formel für die Standardabweichung einer Grundgesamtheit nehmen und wird dann feststellen, dass der Wert ebenfalls nicht ändert.

Die Aufgabe steht wortgleich in "Mathematik verstehen 6" vom österreichischen Bundesverlag, und auch dort wird die empirische Standardabweichung verwendet. Eine Datenreihe ist eine Messung ist üblicherweise eine Stichprobe.

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Das geht m.E. aus der Aufgabe hervor.

Wie kommst du darauf? Es wird weder von einer Stichprobe noch von einer Stichprobenstandardabweichung gesprochen.

Es wird nur von einer Datenreihe gesprochen. Wenn da nichts anderes steht, gehe ich im Allgemeinen davon aus, dass es eine Grundgesamtheit ist.

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... gehe ich im Allgemeinen davon aus

Das sei Dir unbenommen. Die Originalautoren sahen das so wie ich.