Integralrechnung - Partialbruchzerlegung

Question

Aufgabe:

Berechnen Sie das Integral mittels Partialbruchzerlegung

\(\int \frac{x+1}{2x^2-x-1}\)

Problem/Ansatz:

Hallo Lounger,

Ich habe bei der Berechnung der Nullstellen die "2" zunächst ausgeklammert und dann wieder damit multipliziert. Damit kam ich auf die Lösung

\(F(x)=-\frac{1}{3}\text{ln}(2x+1)+\frac{2}{3}\text{ln}(x-1)+C\)

Richtig ist aber

\( F(x)=\frac{2}{3} \ln (x-1)-\frac{2}{3} \ln (x-1)+\frac{1}{6} \ln (2 x+1) \)

Wo liegt mein Fehler?

Gruß, Silvia

Comments

Ohne deine genaue Rechnung ist ein Fehler nur schwer aufzuspüren.

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Ich komme auf

\( \int \frac{x+1}{2 x^{2}-x-1} d x=\frac{2}{3} \int \frac{1}{x-1} d x-\frac{1}{3} \int \frac{1}{2 x+1} d x \)

Und damit auf

\( \int \frac{x+1}{2 x^{2}-x-1} d x=\frac{2}{3} \ln |x-1|-\frac{1}{6} \ln |2 x+1|+C \)

In der ‚richtigen Lösung‘ ist vermutlich ein Schreibfehler.

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Dankeschön, wobei ich "Schreibfehler" in diesem Fall etwas untertrieben finde.

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Man sollte wissen, dass man keiner Musterlösung und keinem Geschriebenen von KI zu 100% vertrauen sollte.

Aber hier sieht man doch schon an zwei Merkmalen, dass die Musterlösung vermutlich Fehler enthält.

Übrigens hätte vermutlich inzwischen jede bessere KI die Aufgabe richtig beantwortet.

Weiterhin gibt es Internetseiten, die solche Aufgaben tatsächlich algebraisch lösen und nicht mit Einsatz von KI.

Zur Not darf man doch gerne solche Seiten zur Hilfe nehmen.

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Lass doch einfach mal deine herablassende/überhebliche Art sein. Du darfst gerne ein Verfechter von KI sein, sie aber ständig jedem aufzwingen zu wollen, halte ich hier für Fehl am Platz, vor allem in der Art und Weise, wie du das kommunizierst.

Es gibt durchaus Menschen, die lieber den Rat eines anderen Menschen einholen, statt direkt eine KI oder irgendein Tool zu benutzen. Das ist völlig legitim und gerade in einem Matheforum auch notwendig.

Natürlich darf man darauf hinweisen, dass Musterlösungen, KI-Antworten oder Internetquellen fehlerhaft sein können. Aber daraus direkt eine Belehrung über KI zu machen, wirkt hier für mich unnötig. Vor allem ist gar nicht klar, woher die angegebene „Lösung“ stammt. Es kann genauso gut sein, dass dort echte Menschen am Werk waren und lediglich ein Kopier- oder Übertragungsfehler vorliegt, der bisher nicht aufgefallen oder korrigiert worden ist.

Außerdem hätte auch eine korrekte Musterlösung die eigentliche Frage nicht automatisch beantwortet. Gefragt wurde ja nicht nur nach dem richtigen Ergebnis, sondern nach dem konkreten Fehler im eigenen Rechenweg. Genau dafür ist der Austausch mit anderen Menschen sinnvoll.

Man kann also gerne auf die Fehleranfälligkeit von Quellen hinweisen. Die Art und Weise, wie das hier formuliert wurde, wirkt auf mich aber eher belehrend als hilfreich. Davon abgesehen wurde auf den Fehler in der Lösung bereits hingewiesen, so dass man deine Belehrung wirklich nicht mehr braucht.

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Coach, die Lösung war von einem Professor und ja, ich hätte sehen können, das zwei Summanden seiner Lösung sich aufheben. Das Thema ist Neuland für mich, aber ich dachte, ich hätte es verstanden.  Also rechnete ich erst einmal fröhlich vor mich hin, verglich mein Ergebnis und "Schock!". Also nicht lange gefackelt, sondern die geballte Kompetenz der Mathelounge in Anspruch genommen, bevor ich die Aufgabe noch dreimal rechne.

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aber ich dachte, ich hätte es verstanden

Ja, das kann ich gut nachvollziehen. Gerade wenn eine Lösung von einer fachlich starken Person stammt, vertraut man ihr natürlich erst einmal.

Genau daran sieht man aber auch das Problem von Musterlösungen: Man vergleicht das eigene Ergebnis, sieht eine Abweichung und zweifelt dann sofort an sich selbst, obwohl auch die Musterlösung fehlerhaft oder missverständlich sein kann.

Besser ist daher immer selbstständiges Rechnen. Das fördert Verständnis und Merkfähigkeit deutlich stärker, als nur eine Lösung nachzuvollziehen. Noch hilfreicher ist es oft, anschließend gezielt auf Fehlersuche zu gehen: Wo unterscheiden sich die Rechenwege (wenn angegeben)? Welche Umformung ist kritisch? Hebt sich vielleicht etwas auf? Wurde ein Vorzeichen übersehen? usw.

Gerade bei einem neuen Thema ist das natürlich mühsam, aber sehr effektiv. Wenn man sich darauf fokussiert, warum bestimmte Fehler entstehen, hilft das enorm, solche Fehler in Zukunft zu vermeiden.

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Coach, die Lösung war von einem Professor und ja, ich hätte sehen können, das zwei Summanden seiner Lösung sich aufheben.

Das ist sehr gut, dass du das bemerkt hast. Leider bemerken sowas die wenigsten.

Und die Wahl, Profis zu fragen, ist auch gut. Das Apfelmännchen konnte deinen Fehler ja zielführend lokalisieren.

Trotzdem finde ich es hilfreich, wenn man Tools wie den Integralrechner kennt, der recht zuverlässig auch solche Integrale lösen kann.

Auch wenn die Schreibweise dieser Tools manchmal ungewohnt ist.

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Coach, ja, ich kenne den Integralrechner und habe ihn auch für diese Aufgabe verwendet, aber ich fand den Rechenweg (Substitution) recht kompliziert bzw. umständlich und er hat mir beim Finden meines Fehlers auch nicht geholfen.

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Apfelmännchen, der Prof hat nur Lösungen angegeben, keine Rechenwege.

Der Sohn einer Freundin lernt für eine Klausur in Wirtschaftsmathematik und bevor ich erklären kann, muss ich erst einmal verstehen. Deswegen rechne ich auch erst einmal alle Aufgaben durch, bevor ich sie dem Studenten präsentiere und ihn seinen Weg zur Lösung finden lasse.

Ich bin einfach zu optimitisch davon ausgegangen, dass der Herr Professor zu den Übungsaufgaben, die er zur Verfügung stellt, auch die richtigen Lösungen angibt. Ich bin gewarnt... ;-)

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Substitution erfüllt aber auch gar nicht die Aufgabe, denn es heißt mittels PBZ.

Solche Tools sind meiner Meinung nach für einen Vergleich der Lösung sinnvoll, für den Rechenweg oft nur bedingt, denn selbst rechnen ist und bleibt einfach sinnvoller, auch wenn man durch andere Rechenwege sicherlich etwas lernen kann. Das eigenständige Durchführen solcher Rechnungen ersetzt es aber nicht. Daher finde ich es schon völlig in Ordnung, dass der Prof. nur die Lösung angibt.

Du studierst also gar nicht selbst, sondern willst das Wissen einfach nur selbst weitervermitteln? Dafür investierst du aber viel Zeit und Mühe (na gut, Mathematik macht ja auch Spaß ;)).

Ich bin einfach zu optimitisch davon ausgegangen, dass der Herr Professor zu den Übungsaufgaben, die er zur Verfügung stellt, auch die richtigen Lösungen angibt. Ich bin gewarnt... ;-)

Die Struktur der Lösung schreit ziemlich nach Kopierfehler, weil einfach derselbe Summand doppelt auftaucht. Sowas kann schnell mal passieren. Im Vergleich zu den Lösungen, die karosieben hier immer wieder mal präsentiert, ist das aus meiner Sicht weniger problematisch, aber ja, verwirrend es ist trotzdem.

Answer 1

Ich vermute, dass du beim Integrieren des Summanden \( \frac{1}{2x+1} \) den Faktor \(\frac{1}{2} \) vergessen hast.

Für Ausdrücke der Form \( \frac{f'(x)}{f(x)} \) ist die Menge der Stammfunktionen gerade \( \ln(f(x))+C \). In deinem Fall steht im Zähler aber nur die Hälfte der Ableitung, daher kommt der Faktor \(\frac{1}{2} \) beim Integrieren (Probe mit Kettenregel machen).

Comments

Ja, den Faktor habe ich in der Tat völlig außen vor gelassen. Danke!