Wahrscheinlichkeit mit Normalapproximation

Question

Augabe:

Professor D. weiß aus langjähriger Erfahrung, dass zu einer Klausur angemeldete Studierende nur mit Wahrscheinlichkeit \( p=0.9 \) wirklich zur Klausur erscheinen. Zur Klausur Höhere Mathematik \( C \) sind 400 Studierende angemeldet, und wir bezeichnen mit \( X \) die Anzahl der Studierenden, die zur Klausur erscheinen.

(i) Welche Verteilung hat die Zufallsvariable \( X \) ?

(ii) Berechnen Sie den Erwartungswert und die Varianz von \( X \).

(iii) Bestimmen Sie mithilfe der Normalapproximation (ohne Stetigkeitskorrektur) näherungsweise die Wahrscheinlichkeit, dass maximal 375 Studierende zur Klausur erscheinen.

Problem/Ansatz:

Hey, ich bräuchte etwas Hilfe bei meiner Aufgabe. Habe so weit:

X~Bin(400, 0.9)

E(x)=360

Var(x)=36

Bei c) bin ich mir nicht mehr sicher.

Vielen Dank im Voraus

Ace

Comments

Es ist nicht klar, welche Hilfsmittel ihr benutzen dürft.

Wenn ihr z.B. nur eine Tabelle der Werte der Standard-Normalverteilung nutzen dürft, mußt du die mit N(360, 36) verteilte Zufallsvariable X standardisieren mit Z=(375-360)/6 und dann in der N(0,1) Tabelle den Wert für Z=2,5 nachsehen.

Wenn Ihr Taschenrechner nutzen dürft, geht es einfacher, je nachdem, was er kann bzw. was erlaubt ist.

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Im CAS schaut es so aus:

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Geogebra zeigt es rechnerisch nicht so genau an. Dafür sieht es besser aus. Aber als eine Näherung ist das eh egal, denn da stimmt die Anzeige ja nicht mal. Denn nach Binomialverteilung wären es gerundet 99.69%.

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Doch, macht es

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III) zum Vergleich das Ergebnis der Binomialverteilung:

P= 0,996919804325

Ich habe das von hier:

https://www.arndt-bruenner.de/mathe/scripts/normalverteilung1.htm

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Die Seiten von Brünner sind doch schon etwas älter. Immerhin stimmen alle angezeigten Ziffern, was man von Geogebra nicht immer behaupten kann.

Es geht auch mit Python:

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Da Python in der Lage ist, mit Brüchen zu rechnen, kann man das auch exakt berechnen.

Mit etwas mehr Programmieraufwand kann man den Bruch auch als abbrechende Dezimalzahl ausgeben. Ich habe selber mal eine Routine geschrieben, die Brüche als Dezimalzahl zurückgibt, inkl. der Anzeige einer Periode.

Answer 1

Wenn die Varianz 36 ist, ist die Standardabweichung 6.

375 ist 360+15, also µ+2,5σ.

Laut Tabelle der Standardnormalverteilung gilt Φ(2,5)=0,99379.