Ungenießbare und defekte Chips, angenäherte Wahrscheinlichkeitsverteilung

Question

Aufgabe:

Eine Maschine produziert Chips mit einem (zufällig verteilten) Ausschussanteil von 9%.

(a) Nach welcher Verteilung bestimmt sich die Anzahl der ungenießbaren Chips in einer Anzahl n von produzierten Chips. Begründen Sie dies.

(b) Berechnen Sie mit einer geeigneten Näherung die Wahrscheinlichkeit für 110 oder mehr defekte Chips in einer Produktion von 1000 Chips. Warum dürfen Sie die Näherung verwenden?

Problem/Ansatz:

Kann mir jemand bei der b helfen

icch da 1,58% Prozent raus stimmt das so?

Comments

Kommt hin, besser wäre wenn du auch angeben würdest, wie du gerechnet hast.

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Der Autor war mal wieder ein Held. In a) sind die Chips ungenießbar und in b) sind sie defekt...

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Es gibt nur 2 Alternativen: defekt oder nicht defekt.

Und es geht um große Mengen?

Was kommt da nur infrage?

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Du hast das Schlagwort "Äquivalenzklassen" für Deine Aufgabe vergeben. How come?

Answer 1

Wenn Ihr mit Stetigkeitskorrektur rechnen sollt finde ich das gut und dann ist es richtig.

(b) Berechnen Sie mit einer geeigneten Näherung die Wahrscheinlichkeit für 110 oder mehr defekte Chips in einer Produktion von 1000 Chips. Warum dürfen Sie die Näherung verwenden?

n = 1000 ; p = 0.09

E(X) = n * p = 90
V(X) = n * p * q = 81.9

P(X >= 110) = 1 - P(X <= 109) = 1 - Φ((109.5 - 90)/√81.9) = 1 - Φ(2.15) = 1 - 0.9842 = 0.0158

Hier gab es aber in letzter Zeit sehr viele, die ohne Stetigkeitskorrektur rechnen sollten.

Answer 2

Warum dürfen Sie die Näherung verwenden?

In den Lehrmitteln stehen üblicherweise Faustregeln dazu, wann die Approximation einer Binomialverteilung durch eine Normal- oder Poissonverteilung möglich ist.

Beispielsweise:

- NV wenn Varianz ≥ 9

- PV wenn n ≥ 100 und p ≤ 0,1

Comments

exakt mit Binomialverteilung:

\(\displaystyle \text{P}(X \geq 110) = \sum \limits_{k=110}^{1000}\binom{1000}{k}\left(\frac{9}{100}\right)^{k}\left(1-\frac{9}{100}\right)^{1000-k} \approx 1,76 \; \% \)

approximativ mit Normalverteilung (mit Stetigkeitskorrektur):

\( X \sim \mathcal{N}(90 \; ; \; 81,9) \)

\(\displaystyle \text{P}(X \geq 109,5) \approx 1,56 \; \% \)

approximativ mit Poissonverteilung:

\( X \sim \mathcal{P}(90) \)

\(\displaystyle \text{P}(X \geq 110) =\frac{1}{e^{90}} \cdot \sum\limits_{k=110}^{1000}\frac{90^k}{k!} \approx 2,25 \; \% \)

Fazit:

Mit allen drei Methoden beträgt die gesuchte Wahrscheinlichkeit "etwa 2 Prozent".