Ungenießbare und defekte Chips, angenäherte Wahrscheinlichkeitsverteilung

Question

Aufgabe:

Eine Maschine produziert Chips mit einem (zufällig verteilten) Ausschussanteil von 9%.

(a) Nach welcher Verteilung bestimmt sich die Anzahl der ungenießbaren Chips in einer Anzahl n von produzierten Chips. Begründen Sie dies.

(b) Berechnen Sie mit einer geeigneten Näherung die Wahrscheinlichkeit für 110 oder mehr defekte Chips in einer Produktion von 1000 Chips. Warum dürfen Sie die Näherung verwenden?

Problem/Ansatz:

Kann mir jemand bei der b helfen

icch da 1,58% Prozent raus stimmt das so?

Comments

Kommt hin, besser wäre wenn du auch angeben würdest, wie du gerechnet hast.

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Der Autor war mal wieder ein Held. In a) sind die Chips ungenießbar und in b) sind sie defekt...

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Es gibt nur 2 Alternativen: defekt oder nicht defekt.

Und es geht um große Mengen?

Was kommt da nur infrage?

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Du hast das Schlagwort "Äquivalenzklassen" für Deine Aufgabe vergeben. How come?

Answer 1

Wenn Ihr mit Stetigkeitskorrektur rechnen sollt finde ich das gut und dann ist es richtig.

(b) Berechnen Sie mit einer geeigneten Näherung die Wahrscheinlichkeit für 110 oder mehr defekte Chips in einer Produktion von 1000 Chips. Warum dürfen Sie die Näherung verwenden?

n = 1000 ; p = 0.09

E(X) = n * p = 90
V(X) = n * p * q = 81.9

P(X >= 110) = 1 - P(X <= 109) = 1 - Φ((109.5 - 90)/√81.9) = 1 - Φ(2.15) = 1 - 0.9842 = 0.0158

Hier gab es aber in letzter Zeit sehr viele, die ohne Stetigkeitskorrektur rechnen sollten.

Answer 2

Warum dürfen Sie die Näherung verwenden?

In den Lehrmitteln stehen üblicherweise Faustregeln dazu, wann die Approximation einer Binomialverteilung durch eine Normal- oder Poissonverteilung möglich ist.

Beispielsweise:

- NV wenn Varianz ≥ 9

- PV wenn n ≥ 100 und p ≤ 0,1

Comments

\( X \) ist die Anzahl defekter Chips.

exakt mit Binomialverteilung:

\(\displaystyle \text{P}(X \geq 110) = \sum \limits_{k=110}^{1000}\binom{1000}{k}\left(\frac{9}{100}\right)^{k}\left(1-\frac{9}{100}\right)^{1000-k} \approx 1,76 \; \% \)

approximativ mit Normalverteilung (mit Stetigkeitskorrektur):

\( X \sim \mathcal{N}(90 \; ; \; 81,9) \)

\(\displaystyle \text{P}(X \geq 109,5) \approx 1,56 \; \% \)

Bei der Lösung 1,58 % wurde zu früh gerundet.

approximativ mit Poissonverteilung:

\( X \sim \mathcal{P}(90) \)

\(\displaystyle \text{P}(X \geq 110) =\frac{1}{e^{90}} \cdot \sum\limits_{k=110}^{1000}\frac{90^k}{k!} \approx 2,25 \; \% \)

Fazit:

Mit allen drei Methoden beträgt die gesuchte Wahrscheinlichkeit "etwa 2 Prozent".

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approximativ mit Normalverteilung (mit Stetigkeitskorrektur):\( X \sim \mathcal{N}(90 \; ; \; 81,9) \)\(\displaystyle \text{P}(X \geq 109,5) \approx 1,56 \; \% \)Bei der Lösung 1,58 % wurde zu früh gerundet.

@Apfelmännchen kannst du das bestätigen?

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Bei der Lösung 1,58 % wurde zu früh gerundet.

Es wäre normal, dass man vor dem Ablesen in der Tabelle der Normalverteilung den Wert rundet. Wenn man allerdings den TR mit integrierter Normalverteilung benutzt, dann kann man alternativ auch erst später das angezeigte Endergebnis runden.

Dann braucht man aber auch erst gar keine Rechnungen angeben, weil man selber nichts rechnet, außer das Endergebnis zu runden.

Die Frage wäre dann nur, ob so ein TR bei euch später in Prüfungen erlaubt ist.

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Die Frage wäre dann nur, ob so ein TR bei euch später in Prüfungen erlaubt ist.

Kennst du einen nicht programmierbaren Taschenrechner, welcher jtz keine 500€ kostet, der das kann?

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Wenn du ein CAS nimmst, dann kann der das sicher. Obiger Screenshot ist von meiner CAS App von Texas Instruments. Die bieten den TR natürlich auch nicht nur als App an und ich glaube programmieren kann man den auch nicht. Zumindest habe ich ihn noch nie Programmiert.

Aber auch mein Casio 991 kann die Normalverteilung berechnen.

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Hmm, wenn ich das aber nur in den Taschenrechner eintippen kann, dann gibt es, wie du gesagt hast Wahrscheinlich keine Punkte drauf ohne Lösungsweg, ich bleibe bei den 1,58%. Der Professor ist eigentlich auch sehr kulant.

Wenn es falsch wäre hätte Apfelmännchen sich bestimmt schon gemeldet.

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Ich habs nicht nachgerechnet. Es gilt natürlich immer das, was in der Prüfung auch zugelassen ist. Das kann dir hier allerdings niemand beantworten. Erfahrungsgemäß ist es aber so, dass ein Rechenweg erkennbar sein muss und die Werte der NV mit einem Taschenrechner berechnet werden dürfen, sofern möglich. Ansonsten muss man eben die Tabelle nutzen.