Exponentialfunktion ableiten und integrieren. Klausurvorbereitung 12. Klasse (Diverse Aufgaben)

Question

Hier eine Klausurvorbereitung für das erste Halbjahr der 12. Klasse (Mathe-Leistungskurs).

Übung (Klausurvorbereitung)

1. Bestimmen Sie die Ableitungsfunktion von f.

a) $f(x)=2 x^{2}+e^{x}$
b) $f(x)=-6 \cdot e^{x}$
c) $f(x)=e^{x^{3}}$
d) $f(x)=e^{-4 x}$
e) $f(x)=-2 \cdot e^{4 x}$
f) $f(x)=e^{3 x^{2}+x}$
g) $f(x)=x^{4} \cdot e^{x}$
h) $f(x)=(2+x) \cdot e^{x}$
i) $f(x)=\left(x^{2}+3 x\right) \cdot e^{x}$

2. Führen Sie zur Funktion $f$ eine Funktionsuntersuchung (Nullstellen; Schnittpunkt mit der y-Achse; Extrema und Verhalten im Unendlichen) durch. Skizzierten Sie den Graphen.

a) $f(x)=2 x-e^{x}$
b) $f(x)=x+\frac{1}{2} e^{-x}$
c) $f(x)=5 x \cdot e^{x}$
d) $f(x)=3 \cdot e^{-x^{2}}$
e) $f(x)=x^{3} \cdot e^{-x}$

3. Gegeben sei die Exponentialfunktion f durch inre Gleichung $f(x)=e^{-0.5 x^{2}}$ Untersuchen Sie die Funktion auf Achsenschnittpunkte. Untersuchen Sie die Funktion auf Extrem - und Wendepunkte. Skizzieren Sie den Graphen von f für $-3 \leq x \leq 3$ Treffen Sie Aussagen zur Symmetrie und dem Verhalten im Unendlichen. Bestimmen Sie die Gleichung der Tangente t im Punkt $P(1;e^{-0,5})$

4. Gegeben sei die Exponentialfunktion f durch ihre Gleichung $f(x)=e^{x}-x-4$

Zeigen Sie, dass die Stellen $x_{1}=1,75$ und $x_{2}=-3,98$ annähernd Nullstellen von $f$ sind. An welcher Stelle schneidet der Graph die y - Achse? Untersuchen Sie die Funktion auf Extrempunkte. Skizzieren Sie den Graphen von f für $-5 \leq x \leq 2$.

Zeigen Sie, dass $F(x)=e^{x}-\frac{1}{2} x^{2}-4 x$ eine Stammfunktion von $f$ ist. Berechnen Sie die Fläche, die vom Graphen und der $x$ -Achse eingeschlossen wird.

(Nutzen Sie die Werte $x_{1}=1,75$ und $x_{2}=-3,98$ als Grenzen.)

Answer 1

Ich gebe hier mal die Kontroll-Lösungen für Aufgabe 1. an:

Die sind nur damit du einen Anhalt hast.

a) f '(x) = 4x + e^x

b) f '(x) = -6 * e^x

c) f '(x) = e^{x^3} * 3x²

d) f '(x) = e^-4x * -4

e) f '(x) = -2 * e^4x * 4 = -8 * e^4x

f) f '(x) = e^{3x^2+x} * (6x+1)

g) f '(x) = 4x³ * e^x + x⁴ * e^x = (x⁴ * 4x³) * e^x

h) f '(x) = 1 * e^x + (2 + x) * e^x = (3 + x) * e^x

i) f '(x) = (2x + 3) * e^x + (x² + 3x) * e^x = (x² + 5x + 3) * e^x

Für Aufgabe 2. mache ich dir mal die Skizze aller Graphen.

Da kann man ja schon die wesentlichen Dinge erkennen und hat gleich einen Anhalt ob die Analyse richtig ist.

Hier der Graph zu Aufgabe 3. inkl Tangente

Und hier der Graph für Aufgabe 4.