Zeige, dass die Flächen ABS und ECS gleich sind.

Question

Aufgabe:

Gegeben sind 2 gleichseitige Dreiecke ABC und CDE, sodass D auf der Geraden durch AB liegt.

Zeige, dass die Flächen ABS und ECS gleich sind.

Diese sehr schöne Aufgabe wollte ich euch nicht vorenthalten.

Comments

Ja, die Aufgabe ist wirklich schön. Die Behauptung stimmt genau dann, wenn BE || AC gilt.

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Ich habe ja berufsbedingt sehr wenig mit Geometrie zu tun, versuche es aber trotzdem, da gerade auf einer längeren Zugfahrt unterwegs. Es geht wahrscheinlich einfacher.

A hat die Koordinaten (0│0)

B hat die Koordinaten (1│0)

C hat die Koordinaten (1/2│\( \sqrt{3} \) / 2)

D hat die Koordinaten (d│0)

Die Seitenlänge von CDE beträgt CD = \( \sqrt{(d-1/2)^2 + (\sqrt{3} / 2)^2} = \sqrt{d^2-d+1} \)

Eine Kreisgleichung um D mit diesem Radius und eine Kreisgleichung um C mit demselben Radius ergibt:

E hat die Koordinaten ((d+2) / 2│\( \sqrt{3} \) d / 2)

AE und BC schneiden sich bei S.

S hat die Koordinaten \( (\frac{d+2}{2(d+1)}│\frac{\sqrt{3} \, d}{2(d+1)}) \).

Aus den Koordinaten der Eckpunkte kann man die Flächeninhalte der roten Dreiecke ausrechnen.

\(\displaystyle A_{A B S}=A_{E C S}=\frac{\sqrt{3} \,d}{4(d+1)} \)

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Einfacher geht es auf jeden Fall. Immerhin würde heutzutage deine Rechnung keiner mehr ohne rechnerisches Hilfsmittel machen.

Man braucht ja, wie abakus bereits richtig festgestellt hat, nur zu zeigen, dass BE || AC.

Deine Rechnung ist übrigens richtig. Auch ich hatte es zunächst algebraisch genau so gemacht.

Nachdem ich dann die algebraische Lösung hatte, habe ich die in Geogebra eingegeben und damit herumgespielt. D.h. den Punkt D einfach mal verschoben. Dabei ist mir dann aufgefallen, dass sich E auf einer Geraden bewegt, sodass die Winkel DAB und DBE immer gleich sind.

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sodass die Winkel DAB und DBE immer gleich sind.

Du meinst wahrscheinlich ∠DAC anstatt DAB.

Für mich folgt aus den Koordinaten, dass BE || AC, aber dass aus BE || AC folgen würde, dass A_ABS = A_ECS darauf bin ich nicht gekommen.

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aber dass aus BE || AC folgen würde, dass AABS = AECS darauf bin ich nicht gekommen.

Wenn man zu beiden betrachteten Flächen das Dreieck ASC hinzufügt, müssten ABC und AEC flächengleich sein. Bei gemeinsamer Grundseite AC hätte also B der gleichen Abstand zu AC, wie ihn auch E hat.

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Ich meinte natürlich den Winkel DAC.

Jedes konvexe Trapez besitzt zwei Diagonalen, die einander im gleichen Verhältnis schneiden. Die Diagonalen teilen das Trapez in vier Dreiecke, von denen zwei zueinander ähnlich und zwei [Schenkeldreiecke] flächengleich sind.
_{https://de.wikipedia.org/wiki/Trapez_(Geometrie)}

Ich weiß zwar, dass wir das sogar mal in der Schule hatten, aber ich weiß nicht mehr, in welcher Klasse das gewesen ist. Außerdem vergesse ich es auch immer wieder. Allerdings hatten wir ja vor einiger Zeit immer ein paar Eigenmann-Aufgaben und aus denen hatte ich mir mal einen Merkzettel gemacht mit den Formeln, die immer wieder drankamen. Von da hatte ich es zum Glück noch im Gedächtnis. Auch ein anderes geometrisches Gebilde habe ich noch von den Eigenmann-Aufgaben in Erinnerung, das mir bei dieser Aufgabe geholfen hat.

Answer 1

Ich habe jetzt endlich den "schönen" (sprich: geometrischen) Beweis:

Ich benenne 1) den Winkel CDB mit α.

Das Dreieck BDC hat einen Außenwinkel der Größe 60°, also gilt

2) Winkel BCD = 60° - α.

BDEC ist eine Sehnenviereck (120°+60°=180°),

also gilt nach Peripheriewinkelsatz auch

3) Winkel BED = 60° - α.

Die Innenwinkelsumme im Dreieck BDE liefert

4) Winkel DBE = 60°

Nach der Umkehrung des Stufenwinkelsatzes folgt BE ||AC.