Zeige, dass die Flächen ABS und ECS gleich sind.

Question

Aufgabe:

Gegeben sind 2 gleichseitige Dreiecke ABC und CDE, sodass D auf der Geraden durch AB liegt.

Zeige, dass die Flächen ABS und ECS gleich sind.

Diese sehr schöne Aufgabe wollte ich euch nicht vorenthalten.

Comments

Ja, die Aufgabe ist wirklich schön. Die Behauptung stimmt genau dann, wenn BE || AC gilt.

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Ich habe ja berufsbedingt sehr wenig mit Geometrie zu tun, versuche es aber trotzdem, da gerade auf einer längeren Zugfahrt unterwegs. Es geht wahrscheinlich einfacher.

A hat die Koordinaten (0│0)

B hat die Koordinaten (1│0)

C hat die Koordinaten (1/2│\( \sqrt{3} \) / 2)

D hat die Koordinaten (d│0)

Die Seitenlänge von CDE beträgt CD = \( \sqrt{(d-1/2)^2 + (\sqrt{3} / 2)^2} = \sqrt{d^2-d+1} \)

Eine Kreisgleichung um D mit diesem Radius und eine Kreisgleichung um C mit demselben Radius ergibt:

E hat die Koordinaten ((d+2) / 2│\( \sqrt{3} \) d / 2)

AE und BC schneiden sich bei S.

S hat die Koordinaten \( (\frac{d+2}{2(d+1)}│\frac{\sqrt{3} \, d}{2(d+1)}) \).

Aus den Koordinaten der Eckpunkte kann man die Flächeninhalte der roten Dreiecke ausrechnen.

\(\displaystyle A_{A B S}=A_{E C S}=\frac{\sqrt{3} \,d}{4(d+1)} \)

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Einfacher geht es auf jeden Fall. Immerhin würde heutzutage deine Rechnung keiner mehr ohne rechnerisches Hilfsmittel machen.

Man braucht ja, wie abakus bereits richtig festgestellt hat, nur zu zeigen, dass BE || AC.

Deine Rechnung ist übrigens richtig. Auch ich hatte es zunächst algebraisch genau so gemacht.

Nachdem ich dann die algebraische Lösung hatte, habe ich die in Geogebra eingegeben und damit herumgespielt. D.h. den Punkt D einfach mal verschoben. Dabei ist mir dann aufgefallen, dass sich E auf einer Geraden bewegt, sodass die Winkel DAB und DBE immer gleich sind.

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sodass die Winkel DAB und DBE immer gleich sind.

Du meinst wahrscheinlich ∠DAC anstatt DAB.

Für mich folgt aus den Koordinaten, dass BE || AC, aber dass aus BE || AC folgen würde, dass A_ABS = A_ECS darauf bin ich nicht gekommen.

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aber dass aus BE || AC folgen würde, dass AABS = AECS darauf bin ich nicht gekommen.

Wenn man zu beiden betrachteten Flächen das Dreieck ASC hinzufügt, müssten ABC und AEC flächengleich sein. Bei gemeinsamer Grundseite AC hätte also B der gleichen Abstand zu AC, wie ihn auch E hat.

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Ich meinte natürlich den Winkel DAC.

Jedes konvexe Trapez besitzt zwei Diagonalen, die einander im gleichen Verhältnis schneiden. Die Diagonalen teilen das Trapez in vier Dreiecke, von denen zwei zueinander ähnlich und zwei [Schenkeldreiecke] flächengleich sind.
_{https://de.wikipedia.org/wiki/Trapez_(Geometrie)}

Ich weiß zwar, dass wir das sogar mal in der Schule hatten, aber ich weiß nicht mehr, in welcher Klasse das gewesen ist. Außerdem vergesse ich es auch immer wieder. Allerdings hatten wir ja vor einiger Zeit immer ein paar Eigenmann-Aufgaben und aus denen hatte ich mir mal einen Merkzettel gemacht mit den Formeln, die immer wieder drankamen. Von da hatte ich es zum Glück noch im Gedächtnis. Auch ein anderes geometrisches Gebilde habe ich noch von den Eigenmann-Aufgaben in Erinnerung, das mir bei dieser Aufgabe geholfen hat.

Answer 1

Ich habe jetzt endlich den "schönen" (sprich: geometrischen) Beweis:

Ich benenne 1) den Winkel CDB mit α.

Das Dreieck BDC hat einen Außenwinkel der Größe 60°, also gilt

2) Winkel BCD = 60° - α.

BDEC ist eine Sehnenviereck (120°+60°=180°),

also gilt nach Peripheriewinkelsatz auch

3) Winkel BED = 60° - α.

Die Innenwinkelsumme im Dreieck BDE liefert

4) Winkel DBE = 60°

Nach der Umkehrung des Stufenwinkelsatzes folgt BE ||AC.

Answer 2

Drehung um \(C\) um \(60^\circ\) bildet \(A\) auf \(B\) und \(D\) auf \(E\) ab.

Damit wird die Strecke \(\overline{AD}\) auf \(\overline{BE}\) abgebildet und der Winkel zwischen \(\overline{AD}\) und \(\overline{BE}\) beträgt ebenfalls \(60^\circ\).

Wegen der Gleichseitigkeit des Dreiecks \(ABC\) folgt \(\overline{AC}\parallel\overline{BE}\).

Somit ist das Viereck \(ABEC\) ein Trapez. Die Dreiecke \(ABC\) und \(AEC\) haben die Grundseite \(\overline{AC}\) und dieselbe Höhe, daher \(A_{ABC}=A_{AEC}\).

Nun gilt aber auch \(A_{ECS}=A_{AEC}-A_{ASC}=A_{ABC}-A_{ASC}=A_{ABS}\).

Comments

Das ist auch sehr schön.

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Erstmal meine Hochachtung an die 3 Löser dieser Aufgabe.

Ich hatte tatsächlich deutlich länger gebraucht, um zu meiner Lösung zu kommen. Allerdings habe ich wie döschwo viel Zeit verschwendet, um das Ganze zunächst algebraisch anzugehen. Wobei die Zeit, mathematische Probleme zu lösen, natürlich nie verschwendete Zeit ist. :)

Meine Lösung finde ich persönlich etwas einfacher als die von abakus, weil ich keinen Winkel Alpha brauche, geht aber im Grunde ähnlich: BDEC ist ein Sehnenviereck (Außenwinkel bei B = Innenwinkel bei E). Damit muss auch der Winkel DBE gleich dem Winkel DCE, also gleich 60 Grad, sein. Der Rest, dass die Schenkeldreiecke (nennt man die so?) im Trapez gleich groß sind, war jedem hier klar und bedarf, denke ich, keiner Worte mehr.

Die Lösung von Apfelmännchen ist sehr genial und nochmals deutlich einfacher und damit meiner Meinung nach die bisher beste Lösung.

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Man braucht hier vor allem keine Winkelsätze. Manchmal reicht es, den Kopf mal zu drehen und eine andere Perspektive anzunehmen. ;)

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Man benötigt gar nicht mal die Drehung. Die Dreiecke ADC und BEC sind kongruent nach Satz sws. Die Übereinstimmung der Seiten ist klar, und der Winkel ist jeweils

60°+∠BCD.

Damit ist Winkel EBC kongruent zum Winkel DAC und beträgt somit 60°, was wieder auf BE ||AC führt.

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Die Kongruenz der Dreiecke ist durch Drehung um \(C\) aber in einem einzigen Satz begründet. Die Anwendung von sws ist da weniger offensichtlich, wie man an deinen Ausführungen ja sieht.

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Da stimme ich dir voll zu. Ich habe diesen Weg deshalb benannt, weil Schülerinnen und Schüler auf den (schönen) Weg der Drehung erfahrungsgemäß kaum kommen, aber mit Dreieckskongruenz eher etwas anfangen können.

Mein Kommentar war also keinesfalls eine Kritik an deinem Lösungsweg.