Wie lernt man die Mathematik richtig?

Question

Zwar eine Frage zur Mathematik, aber nicht über eine spezielle Aufgabe oder Thema, sondern über die Mathematik als Ganzes. Ich habe hier in der Vergangenheit schon ähnliche Fragen gestellt, da ich im Informatik Studium immer wieder mit der Mathematik aneinandergeraten bin. Vor allem Beweise haben mir Probleme gemacht.

Mittlerweile bin ich im Master, habe auch schon Übungsgruppen an der Uni in Mathefächern (vor allem beweislastige Module) unterrichtet und würde sagen ich bin mittlerweile auf jeden Fall auf einem ganz annehmbaren Level.

Allerdings (!) habe ich trotzdem weiterhin große Probleme mit der Mathematik. Ich habe einfach das Gefühl, dass ich die Mathematik nicht so richtig begreife. Ich habe Probleme damit Verbindungen zwischen mathematischen Gebieten zu ziehen, und wenn ich mich länger mit einem Thema nicht beschäftige, dann entfällt mir das fast komplett. In anderen Gebieten habe ich diese Schwächen überhaupt nicht.

Gleichzeitig merke ich in meinem Informatik Studium aber auch, dass die Mathematik definitiv der Kern des Ganzen ist.

Vielleicht habt ihr ja Ratschläge, wie ich weitermachen soll. Ich habe schon fast das Bedürfnis die Mathematik noch ein mal ganz von vorne aufzurollen, in der Hoffnung, dass ich durch das bisher angesammelte Wissen einen besseren Überblick bekomme, wenn ich noch mal alles durchgehe. Aber ich weiß nicht, ob sich das lohnt. Bin für alle Ratschläge dankbar.

Comments

Ich kann an Deiner Schilderung nichts ungewöhnliches finden und auch nichts, was beunruhigend sein sollte.

Ich habe einfach das Gefühl, dass ich die Mathematik nicht so richtig begreife. Ich habe Probleme damit Verbindungen zwischen mathematischen Gebieten zu ziehen,

Gib mal ein ganz konkretes Beispiel für das, was Du nicht begreifst bzw. welche Verbindungen Du nicht ziehen kannst.

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Sagen wir du wirfst jetzt ein mathematisches Konzept in den Raum, zum Beispiel eine abelsche Gruppe. Ich könnte dir da absolut nichts zu sagen. Wofür braucht man das? Wie leitet man das her? Was waren noch mal die Eigenschaften? Wo findet das Verwendung? Nichts. Ich könnte dir nicht mal sagen wie das Gebiet der Mathematik heißt, zu dem das gehört.

In der Informatik oder auch in anderen Bereichen wie Geschichte hätte ich so etwas nicht. Wenn ich da ein mal etwas gehört habe, dann kann ich dir auch Jahre später dazu was erzählen, wieso das wichtig ist, wo das Anwendung findet usw.

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Wenn Bezug zur Informatik helfen würde, dann überleg Dir mal, ob die Maschinenzahlen auf einem bestimmten Rechner zusammen mit der darauf definierten Addition eine abelsche Gruppe bilden. Und was das für Konsequenzen hat.

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Mathematik wird meistens in der Form: Definition - Satz - Beweis gelehrt.

Das macht es für viele schwer, sich davon ‚ein Bild zu machen‘, warum, weshalb.

Es bleibt dann beim auswendig lernen und nach der Klausur wird es schnell wieder vergessen, ganz normal.

Vielleicht ist es daher für Dich einfacher, anders herum vor zu gehen: bei Deinem Beispiel also anfangen mit:  warum brauche ich Gruppen, wo kommen sie vor, was haben sie für Eigenschaften. Menschen merken sich ‚Geschichten‘ meistens besser als nackte Fakten.

Mathematiker können sich diese abstrakten Dinge auf ihre Art ‚vorstellen‘, je besser die Bilder sind, umso besser ist die Person in Mathematik, weil man nicht mit auswendig gelernten Dingen umgeht sondern mit Bildern, und sich dann auch leichter vorstellen kann, was passiert wenn…, und Zusammenhänge mit anderen Berechen erkennen können.

Hinkender Vergleich, ich kann blind Schach spielen (bis zu einer gewissen Grenze) bin aber drastisch schlechter als sehend. Großmeister ‚sehen‘ das Brett beim blind spielen vor sich und sind daher Klassen besser…

Answer 1

Ich würde nicht versuchen, die gesamte Mathematik noch einmal von vorne durchzuarbeiten. Deine Schilderung klingt weniger danach, dass du den Stoff nicht verstanden hast, sondern eher danach, dass vieles nicht mehr abrufbar ist (siehe Kommentar von user26605). Das ist aber vollkommen normal, wenn man schlicht nur für die einzelnen Prüfungen lernt und sich nicht mehr mit bestimmten Themen befasst.

Stattdessen solltest du das vorhandene Wissen gezielt wieder reaktivieren, sofern du es benötigst, also dir die Dinge anschauen, die für deinen Werdegang relevant sind. Ich weiß auch viele Dinge nicht mehr, bin aber in der Lage, gezielt nach den Dingen zu suchen, die ich brauche. Wenn man Themen vorher verstanden hat, kommt man mit ein bisschen Auseinandersetzung auch schnell wieder in das Thema rein.

Grundsätzlich ist für einzelne Begriffe folgende Vorgehensweise sinnvoll:

- Wie lautet die Definition?

- Was ist das einfachste Beispiel und was ist ein Gegenbeispiel?

- Welches Problem wird durch den Begriff beschrieben/gelöst?

- In welchen wichtigen Sätzen und Resultaten kommt der Begriff vor?

- Wo sind Verbindungen zu anderen Begriffen? Was sind Gemeinsamkeiten und Unterschiede?

- Gibt es einen Bezug zur Informatik? (für dich relevant)

Im besten Fall versucht man erst einmal, diese Fragen aus der Erinnerung zu beantworten und ergänzt anschließend die Lücken.

Im Fall der abelschen Gruppe mit Bezug zur Informatik kann man bspw. untersuchen, ob die Menge der n-Bit-Strings zusammen mit der XOR-Verknüpfung eine abelsche Gruppe bildet.

Ein ähnliches Vorgehen eignet sich für Beweise:

- Beweis lesen und verstehen.

- Aus dem Gedächtnis rekonstruieren.

- Was sind die Voraussetzungen? Was soll gezeigt werden?

- Wo wird welche Voraussetzung genutzt?

- Was geht schief, wenn eine bestimmte Voraussetzung nicht erfüllt ist und warum?

Am Ende geht es nicht darum, zu jedem Begriff auch nach längerer Zeit alles sagen zu können, sondern mit Hilfe bestimmter Anhaltspunkte und konkreten Beispielen das vorhandene Wissen wieder aufzufrischen und es in einen größeren Zusammenhang einordnen zu können.