Wie lernt man die Mathematik richtig?
Ich glaube, hier geht es nicht nur um „richtiges“ Lernen, sondern vor allem um nachhaltiges und effizientes Lernen. Jedenfalls würde ich das unter „richtig“ verstehen.
Mathematiker können sich diese abstrakten Dinge auf ihre Art ‚vorstellen‘, je besser die Bilder sind, umso besser ist die Person in Mathematik,
Dafür muss man kein Mathematiker sein und ist auch für Schüler bereits sinnvoll.
Beispielsweise kann man jemandem die Schritte zur Lösung einer einfachen linearen Gleichung erklären, die dann auch umgesetzt werden können, ohne jedoch verstanden zu haben, was da mathematisch passiert und vor allem, warum das funktioniert. Eine geläufige Vorstellung ist das Bild der Waage, die im Gleichgewicht ist. Die Waage ist also ein Modell, mit dem man die Struktur einer Gleichung besser verstehen kann.
Ein weiteres Beispiel ist das Verständnis, dass ein Dreieck ein halbes Rechteck bzw. Parallelogramm ist (ich kann jedes Dreieck zu einem passenden Rechteck mit gleicher Grundseite und Höhe ergänzen, um diesen Zusammenhang sofort zu sehen). Dann muss ich nur noch die korrekten Größen zuordnen können und schon kenne ich die Flächenformel für ein Dreieck, wenn ich die eines Rechtecks kenne. Das erspart mir sofort das Auswendiglernen zweier Formeln, da ich mir mit Hilfe meiner Vorstellung eine Formel sofort herleiten kann und dazu ein passendes Bild vor Augen habe. Ähnliche Konstruktionen funktionieren auch für Parallelogramme, Trapeze, Rhomben und Drachenvierecke.
Auch in der Grundschule hilft mathematisches Verständnis und Vorstellungskraft sehr: Wenn ich verstanden habe, dass \(7\cdot 4\) nichts anderes ist als \(5\cdot 4+2\cdot 4\), habe ich immer einen Vorteil gegenüber denjenigen, die diese Zerlegung nicht schaffen. Ich muss also gar nicht auswendig lernen (das passiert irgendwann automatisch, wenn man hinreichend viel übt), was die Ergebnisse sind, sondern kann sie mir mit Hilfe einer einfachen Addition schnell herleiten. Das erfordert aber die Vorstellung von Zahlen als Menge (Kardinalzahlen) und nicht als „Zählwerkzeug“ (Ordinalzahlen). Kinder, denen diese Unterscheidung fehlt, tun sich im Rechnen also deutlich schwerer. Leider wird das durch Lehrerkräfte oft nicht erkannt, weil bei richtigen Ergebnissen nicht nachvollziehbar ist, ob das Kind gerechnet oder gezählt hat. Gerade in den ersten beiden Klassenstufen ist das problematisch.
Was sind klassische Fehler?
Dabei geht es auch nicht um klassische Fehler, die beim Rechnen passieren (falls das darauf bezogen ist), sondern vielmehr darum, dass Rechenwege etc. eher auswendig gelernt, aber nicht verstanden werden. Als Fehler könnte man daher also etwa folgende Dinge nennen:
- Rechenwege werden ohne mathematisches Verständnis auswendig gelernt. Der Transfer auf andere Aufgaben gelingt häufig nicht, sobald auch nur eine Kleinigkeit anders ist.
- Man orientiert sich nur an bekannten Aufgaben. Sobald eine Aufgabe etwas anders gestellt ist oder etwas mehr Verständnis verlangt, geht diese Orientierung verloren.
Dazu hatte ich erst vor kurzem eine Situation: Ein Schüler sollte den Term \((a+7)^2\) mit Hilfe der ersten binomischen Formel vereinfachen. Nach dem eigenen Versuch mit \(a^2+49\) und der Erklärung, dass da etwas fehlt, gelang es dann am Ende auch (übrigens gibt es auch dazu eine sehr schöne Visualisierung). Zehn Minuten später sollte der Schüler die Parabel \(f(x)=(x+7)^2\) in die allgemeine Form überführen, woran er erneut kläglich gescheitert ist, obwohl die Rechnung zur obigen Aufgabe identisch ist. Er wusste, was die allgemeine Form ist, hat aber nicht verstanden, dass er hier auch nur die binomische Formel anwenden muss. Die Aufgabe war eben nicht formuliert als „wende die binomische Formel an“.
- Unklare Begriffe werden vorher nicht geklärt. Wenn ich nicht weiß, was ein Extrempunkt bedeutet (Steigung muss Null sein und das Monotonieverhalten ändert sich), kann ich ihn vielleicht rechnerisch bestimmen, verstehe aber nicht, was ich da eigentlich tue.
- Ergebnisse werden nicht auf Plausibilität geprüft. Dann entstehen Antworten wie Fußbälle, die mehrere Tonnen wiegen, Flugzeuge auf einer Reiseflughöhe von 200 Metern oder Pflanzen mit negativer Wachstumsgeschwindigkeit.
- Man schaut zu schnell in eine Musterlösung und das meist, ohne selbst etwas versucht zu haben. Das führt zur Verwechslung von „Ich erkenne die Aufgabe/den Rechenweg wieder.“ vs. „Ich kann diese Aufgabe selbstständig lösen.“
- Eigene Fehler werden im Nachhinein nicht analysiert. Fehler werden oft nur zur Kenntnis genommen, aber nicht wirklich ausgewertet. Dabei könnte man gerade aus diesen Fehlern sehr viel lernen.
