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Hallo,

folgende Aufgaben zu Gleichungssysteme sind gegeben:

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a) Habe ich mithilfe des Computers berechnet, aber wie macht man es bei b)? Wie beginnt man? c) sieht sehr schwer aus... Was mache ich mit den Quadraten im Nenner, eventuell Wurzel ziehen?

MfG, Mountain_lion

Lineare

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Nun,

bei b)

gibt es drei Unbekannte, daher braucht man für eine eindeutige Lösung auch drei Gleichungen.

4 x + 7 y - 3 z = 9

- 27 x - 3 y + 5 z = - 18

2 x + 8 y - 6 z = 0

Dritte Gleichung nach x auflösen:

2 x = - 8 y + 6 z

x = - 4 y + 3 z

Diesen Term für x in die beiden anderen Gleichungen einsetzen:

4 ( - 4 y + 3 z ) + 7 y - 3 z = 9

- 27 ( - 4 y + 3 z ) - 3 y + 5 z = -18

Ausmultiplizieren:

- 16 y + 12 z + 7 y - 3 z = 9

108 y - 81 z - 3 y + 5 z = - 18

und zusammenfassen:

- 9 y + 9 z = 9

105 y - 76 z = - 18

Erste Gleichung nach y auflösen:

9 y = 9 z - 9

y = z - 1

Diesen Term für y in die zweite Gleichung einsetzen:

105 ( z - 1 ) - 76 z = - 18

Ausmultiplizieren:

105 z - 105 - 76 z = - 18

und zusammenfassen:

29 z = 87

Nach z auflösen:

z = 3

Diesen Wert von z in die violette Gleichung einsetzen:

y = 3 - 1

y = 2

Die Werte von z und y in die blaue Gleichung einsetzen:

x = - 4 * 2 + 3 * 3 

x = 1

Die Lösung des Gleichungssystems ist also:

x = 1 , y = 2 , z = 3

Probe durch Einsetzen dieser Werte in das ursprüngliche Gleichungssystem.

 

zu c)

m1* V0 = - m1 * V1 + m2 * V2

( 1 / 2 ) m1 * V02 = ( 1 / 2 ) m1 * V12 + ( 1 / 2 ) m2 * V22

(Wo siehst du da Quadrate im Nenner?)

Zunächst multipliziert man die zweite Gleichung mit 2, damit die lästigen Faktoren verschwinden:

m1 * V02 = m1 * V12 + m2 * V22

Diese Gleichung löst man nun auch nach V12 auf:

m1 * V12 = m1 * V02 - m2 * V22

V12 = ( m1 * V02 - m2 * V22 ) / m1

V12 = V02 - ( m2 / m1 ) * V22

Nun löst man die erste Gleichung nach V1 auf:

m1 * V1 = - m1* V0 + m2 * V2

V1 = ( - m1* V0 + m2 * V2 ) / m1

V1 = - V0 + ( m2 / m1 ) * V2

Um nun diese Gleichung mit der blauen Gleichung gleichsetzen zu können, quadriert man diese Gleichung:

V12  = V02 + 2 * V 0 * ( m2 / m1 ) * V+ ( m2 / m1 ) 2 * V2 2

Nun kann man die beiden blauen Gleichungen gleich:

V02 - ( m2 / m1 ) * V22  = V02 + 2 * V 0 * ( m2 / m1 ) * V+ ( m2 / m1 ) 2 * V2 2

Auf beiden Seiten V02 subtrahieren:

- ( m2 / m1 ) * V22 = 2 * V 0 * ( m2 / m1 ) * V+ ( m2 / m1 ) 2 * V2 2

Beide Seiten durch V2 dividieren:

- ( m2 / m1 ) * V2 = 2 * V 0 * ( m2 / m1 + ( m2 / m1 ) 2 * V

Auf beiden Seiten ( m2 / m1 ) 2 * V subtrahieren:

- 2 ( m2 / m1 ) * V2 = 2 * V 0 * ( m2 / m1 )

Beide Seiten durch 2 dividieren:

- ( m2 / m1 ) * V2 = V 0 * ( m2 / m1 )

Beide Seiten durch - m2 / m1 dividieren:

V2 = - V0

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Vielen Dank JotEs für deine übersichtliche, ausführliche und vor allem nachvollziehbare Berechnung! Ich werde mir jeden Schritt ansehen und mir die Abfolge einprägen, damit ich in Zukunft Gleichungssysteme beherrschen kann. Für deine Bemühung erhältst du einen Punkt und einen Stern!

Mit freundlichen Grüßen

Mountain_lion

Vielen Dank.

Das Lösen solcher Gleichungssysteme ist sicher keine Hexerei, sondern erfordert einfach ein bisschen Übung.

Und: Man muss die Übersicht behalten.

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