offenes intervall, nullstelle, funktion

Question

Seien I ⊂ R ein offenes Intervall mit [a,b] ⊂ I und f : I → [a,b] stetig. Zeigen Sie: Die Funktion g : I → R mit g(x) = f (x) − x besitzt mindestens eine Nullstelle in [a, b].

Answer 1

Nach Voraussetzung gilt $a\leq f(x)\leq b$ für alle $x\in I$. Insbesondere gilt $a\leq f(a)$ und $f(b)\leq b$. Für die Funktion $g$ gilt daher $g(a)=f(a)-a\geq0$ und $g(b)=f(b)-b\leq0$. Die Behauptung folgt nun aus dem Zwischenwertsatz.