Das Pascalsche Dreieck?

Question

Die Summen aller Zahlen in einer Zeile des Pascalschen Dreiecks ergeben gerade die Zweierpotenzen. Beweise das rechnerisch (mit Hilfe von vollständiger Indukion oder des binomischen Lehrsatzes).

\( \left(\begin{array}{l}n \\ 0\end{array}\right)+\left(\begin{array}{l}n \\ 1\end{array}\right)+\left(\begin{array}{l}n \\ 2\end{array}\right)+\ldots+\left\{\begin{array}{l}n \\ n\end{array}\right) \\ = \sum \limits_{k=0}^{n}\left\{\begin{array}{l}n \\ k\end{array}\right) = 2^n \)

Answer 1

Mit dem Binomische Lehrsatz kannst du
2^n = (1+1)^n ansehen

Binomischer Lehrsatz rechts:

(1+1)^n = (n tief 0) * 1^n + (n tief 1)* 1^n + (n tief 2) * 1^n + ..... + (n tief n) * 1^n

= (n tief 0)  + (n tief 1) + (n tief 2)  + ..... + (n tief n)