Zeigen Sie durch Induktion über n und mit Hilfe des binomischen Lehrsatzes die Pascal'sche Identität

Question

Wäre froh wenn einer darüber sehen könnte:

Es sei im Folgenden

\( { s }_{ n }(p)=\sum \limits_{ k=1 }^{ n }{ { k }^{ p } } \\ \sum \limits _{ p=0 }^{ q }{ \begin{pmatrix} q + & 1 \\ p & \end{pmatrix} } { s }_{ n }(p) = { (n + 1) }^{ q+1 } -1.\)

Folgern Sie, dass \( { s }_{ n }(4) = \frac { 1 }{ 30 } n(n + 1)(2n + 1)({ 3n }^{ 2 } + 3n - 1). \)

Da haben wir als Lösung:

\( I.A.:\\ \sum \limits_{ p=0 }^{ q }{ \begin{pmatrix} q + & 1 \\ p & \end{pmatrix}\sum _{ k=1 }^{ 1 }{ { 1 }^{ p } } } = \sum \limits _{ p=0 }^{ q }{ \begin{pmatrix} q + & 1 \\ p & \end{pmatrix} } = { (1 + 1) }^{ q+1 } -1 = \text{(bin. Lehrsatz)} \sum \limits_{ p=0 }^{ q+1 }{ \begin{pmatrix} q + & 1 \\ p & \end{pmatrix} } -\begin{pmatrix} q + & 1 \\ p + & 1 \end{pmatrix} = \sum _{ p=0 }^{ q }{ \begin{pmatrix} q + & 1 \\ p & \end{pmatrix} } \)

I.V. A(n) ist wahr

I.S. \( n - 1 \Longrightarrow n\\ \\ \sum \limits _{ p=0 }^{ q }{ \begin{pmatrix} q + & 1 \\ p & \end{pmatrix} } { s }_{ n }(p) = \sum \limits_{ p=0 }^{ q }{ \begin{pmatrix} q + & 1 \\ p & \end{pmatrix} } { s }_{ n-1 }(p) + { n }^{ p } = \sum \limits_{ p=0 }^{ q }{ \begin{pmatrix} q + & 1 \\ p & \end{pmatrix} } { s }_{ n-1 }(p) + \sum \limits_{ p=0 }^{ q }{ \begin{pmatrix} q + & 1 \\ p & \end{pmatrix} } + { n }^{ p }\\ \\ = I.V.\qquad \\ \qquad { n }^{ q+1 } - 1 + \sum \limits_{ p=0 }^{ q }{ \begin{pmatrix} q + & 1 \\ p & \end{pmatrix} } { n }^{ p } = (\sum _{ p=0 }^{ q+1 }{ \begin{pmatrix} q + & 1 \\ p & \end{pmatrix} } { n }^{ p }) - 1 = \text{(bin. Lehrsatz)} { (n + 1) }^{ q+1 } - 1. \)

Ist das so richtig?

Answer 1

Hi,

im Prinzip bis auf Flüchtigkeitsfehler denke ich, ist das ok. beim IS: hast Du ein paar Klammern vergessen bei \(s_{n-1}(p)+n^p \) und was hinter dem danach stehenden Gleichheitszeichen steht ist auch nicht richtig. Das ist aber in der darauf folgenden Zeile wieder korrigiert worde. Onsofern gehe ich davon aus, dass das Schreibfehler sind. Die Gleichheitszeichen mit dem Hinweis auf den binom. Lehrsatz sehen seltsam aus. Besser wäre hier wahrscheinlich zu sagen, "weil gilt ... folgt ..."

Ich hoffe Du kannst mit dem Kommentar was anfangen.

Comments

Ja, vielen Dank. Wollte nochmal sicher gehen.

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Könnte mir jemand erklären was an sam94's Lösung falsch ist? Darf man solche Induktionsaufgaben auch mit n-1 lösen oder muss man n+1 verwenden?

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HHU Analysis 1? :)

Ich komm auch mit der Aufgabe nicht voran. Ich verstehe nicht, warum $$\sum \limits_{p=0}^{q}\begin{pmatrix} q+1\\p \end{pmatrix}=2^{q+1}-1$$ ist?

Im Skript hatten wir: $$\sum \limits_{k=0}^{n}\begin{pmatrix} n\\k \end{pmatrix}=2^{n}$$

Heißt das nicht folgendes? $$\sum \limits_{p=0}^{q}\begin{pmatrix} q+1\\p \end{pmatrix}=2^{q+1}$$

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Bin auch an der HHU :)

Komme auch nicht so 100% mit der Aufgabe klar bzw. überhaupt eine der Aufgaben.

Ich kann mir auch noch nicht erklären wo die -1 da herkommt, aber sie scheint für die Umformung wichtig zu sein, daher gehe ich mal davon aus, dass sie dort richtig ist.