Quadratische Form f(x,y,z)=5y^2-4xy-2z^2+3xz-8yz in Matrixform bringen.

Question

Ich habe die quadratische Form f(x,y,z)=5y²-4xy-2z²+3xz-8yz gegeben und muss die Matrix C bestimmen.

Ich kann allerdings bis jetzt nur eine gegebene Matrix in die quadratische Form bringen (x^T⋅C⋅x), umgekehrt finde ich keine einfach verständliche Erklärung, ich hoffe ihr könnt mir weiterhelfen :-)

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Answer 1

Dem 2. Beispiel in

http://statistik.wu-wien.ac.at/~leydold/MOK/HTML/node60.html

Entnehme ich, dass in der Diagonalen die Koeffizienten von x^2, y^2 und z^2 stehen.

Die übrigen Koeffizienten werden halbiert und symmetrisch zur Diagonalen verteilt.

Deshalb ist die Matrix deiner quadratischen Form

      0       -2      1.5
(    -2      5         -4       )
    1.5     -4         -2

 

Probe:

 

                             0       -2      1.5            x
(x        y  z)    (    -2      5         -4       )   (  y )    =
                           1.5     -4         -2             z

                             0x       -2y +      1.5z           
(x        y  z)    (    -2x+      5y     -    4z       )       =
                           1.5x -     4y         -2z             

 

0x^2 -2xy + 1.5xz -2xy + 5y^2 - 4zy + 1.5xz - 4yz - 2z^2 =

= -4xy + 3xz + 5y^2 - 8zy - 2z^2

=5y²-4xy-2z²+3xz-8yz 

Comments

Sehr gute Antwort.

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In der Matrix müsste doch zwei mal -4 stehen statt 4

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Ja. Du hast recht. Lu hat auch in der Vorletzten Zeile +8yz stehen die dann plötzlich zu -8yz wurden. Wenn man zweimal -4 nimmt stimmt es.

Danke fürs nachrechnen. Lu korrigiert das sicher später.

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Besten Dank. Das sollte jetzt behoben sein.