Messreihe mit Standardabweichung berechnen

Question

Aufgabe:

Eine Messreihe liefert folgende Ergebnisse: $16.61,20.50,8.22,17.59,15.96,11.08,13.70$ $16.03,25.74,23.31,10.95,24.10,17.17,14.81,17.14$

a) Berechnen Sie den Mittelwert, die Standardabweichung und den Standardfehler (auch Standardabweichung des Mittelwertes genannt).

b) Wie oft muss man messen, damit der Standardfehler kleiner als $1 \%$ des Mittelwertes ist, wenn man davon ausgeht, dass sich Mittelwert und Standardabweichung bei weiteren Messungen nicht verändern?


zu a)
$\bar{x}=\frac{1}{n} \sum \limits_{i=1}^{n} x_{i}$
$\bar{x}=\frac{1}{15} \sum \limits_{i=1}^{n} \sum \limits_{i=1}^{n} 16,61+20,50+8,22+17,59+15,96+11,08+13,70+16,03+25,74+23,31+10,95+24,10+17,17+14,81+17,14$
$\bar{x}=\frac{1}{15} \sum \limits_{i=1}^{15} 252,91$
$\bar{x}=16,86$

Comments

Bevor ich die 15 Werte eingesetzt habe, habe ich die 1. Formel gefunden. Muss man alle Messwerte addieren und durch 15 teilen oder muss man anders rechnen?

zu b)
Umso mehr Messungen gemacht werden, umso geringer ist der Standardfehler.

100%
-99%
<1%

Mindestens 99 Messungen müssen gemacht werden... aber ich denke die Aufgabe wäre dann zu einfach. Es muss also einen anderen Weg geben.

Ich habe die Formeln gefunden!

Mal sehen, ob ich die korrekten Lösungen finde.

Ist n die Anzahl der Ergebnisse der Messreihen?

So, wie es jetzt aussieht:

$\bar{x}=\frac{1}{n} \sum \limits_{i=1}^{n} x_{i}$
$\bar{x}=\frac{1}{15} \sum \limits_{i=1}^{15} x_{1}+x_{2}+x_{3}+x_{4}+x_{5}+x_{6}+x_{7}+x_{87} x_{9}+x_{10}+x_{11}+x_{12}+x_{13+} x_{14}+x_{15}$
$\bar{x}=\frac{1}{15} * 252,91$
$\bar{x}=16,89067$
$s=\sqrt{\frac{1}{n-1} \sum \limits_{i=1}^{n}\left(x_{i}-\bar{x}\right)^{2}}$
$s=\sqrt{\frac{1}{15-1} \sum \limits_{i=1}^{15}(252,91-16,89067)^{2}}$
$s=\sqrt{\frac{1}{14} *(252,91-16,89067)^{2}}$
$s=-2,24$

Unter dem Wurzelbetrag sind Minusergbnisse, also nicht lösbar?

$\bar{x}=\frac{I}{n} \sum \limits_{i=1}^{n} x_{i}$
$\bar{x}=\frac{1}{15} \sum \limits_{i=1}^{15} x_{i}+x_{2}+x_{3}+x_{4}+x_{5}+x_{6}+x_{7}+x_{8} x_{9}+x_{10}+x_{1 i}+x_{12}+x_{13+} x_{14}+x_{15}$
$\bar{x}=\frac{1}{15} * 252,91$
$\bar{x}=16,89067$
$s=\sqrt{\frac{1}{n-1} \sum \limits_{i=1}^{n}\left(x_{i}-\bar{x}\right)^{2}}$
$s=\sqrt{\frac{1}{15-1} \sum \limits_{i=1}^{15}(252,91-16,89067)^{2}}$
$s=\sqrt{\frac{1}{14} *(252,91-16,89067)^{2}}$
$s=\sqrt{-2,24}$
$\frac{\sigma}{\sqrt{n}} \approx \frac{\sigma}{\sqrt{s}}=\sqrt{\frac{1}{n(n-1)} \sum \limits_{i=1}^{n}\left(x_{i}-\bar{x}\right)^{2}}$
$\frac{\sigma}{\sqrt{n}} \approx \frac{\sigma}{\sqrt{s}}==\sqrt{\frac{1}{15(15-1)} \sum \limits_{i=1}^{15}(252,91-16,89067)^{2}}$
$\frac{\sigma}{\sqrt{n}} \approx \frac{\sigma}{\sqrt{s}}==\sqrt{\frac{1}{210} *(252,91-16,89067)^{2}}$
$\frac{\sigma}{\sqrt{n}} \approx \frac{\sigma}{\sqrt{s}}==\sqrt{-0,149}$

Ich vermute, dass die Lösungen falsch sind, denn da es sich nicht um komplexe Zahlen handelt, darf unter einer Wurzel kein Minusbetrag stehen. Es kann sein, dass die Forumuser unsicher sind, aber ihr könnt zumindest überprüfen, ob die Zahlen in den Formeln richtig eingesetzt sind. Vielleicht hätte ich für n einen anderen Wert nehmen müssen.

Erster Wert muss richtig sein, die Wurzelergebnisse nicht...

Vielleicht hilft es, wenn wir es Schritt für Schritt machen:

1.) Was setze ich für n ein?
2.) Was setze ich für xi ein?
3.) Was kommt für -x- raus?

Answer 1

Den Mittelwert deiner Messdaten hast du richtig berechnet. Bei der Standardabweichung hast du allerdings die Summe falsch berechnet. Du musst von jedem Messwert den Mittelwert abziehen und quadrieren. Davon dann die Summe bilden.

$$\overline{ x} =\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n x_i$$$$\overline{ x} =\frac{1}{15}(16.61+20.5+8.22+17.59+15.96+11.08+13.7+16.03+25.74+23.31+10.95+24.1+17.17+14.81+17.14)=16.8607$$

https://www.wolframalpha.com/input/?i=Mean&a=*C.Mean-_*Calculator.df…

$$s=\sqrt{\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^n (x_i-\overline{x})^2}$$$$s=\sqrt{\frac{1}{14}(16.61-16.8607)^2+(20.5-16.8607)^2+(8.22-16.8607)^2+(17.59-16.8607)^2+(15.96-16.8607)^2+(11.08-16.8607)^2+(13.7-16.8607)^2+(16.03-16.8607)^2+(25.74-16.8607)^2+(23.31-16.8607)^2+(10.95-16.8607)^2+(24.1-16.8607)^2+(17.17-16.8607)^2+(14.81-16.8607)^2+(17.14-16.8607)^2)}=\sqrt{24.6834}=4.96824$$

https://www.wolframalpha.com/input/?i=standard+deviation&a=*C.standa…

$$\Delta\overline{x}=\frac{s}{\sqrt{n}}=\frac{4.96824}{\sqrt{15}}=1.2827941$$

Comments

Kriegst du auch die Aufgabe b) alleine hin?

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Ich bin mir nicht sicher. Ich habe eine Rechnung gemacht, weiß aber nicht, ob diese stimmt:

$\sigma(\bar{x})=\frac{\sigma}{\sqrt{n}}|* \sqrt{n} \quad|:(\bar{x})$
$\sqrt{n}=\frac{\sigma}{\sigma(\bar{x})}$
$n=\left(\frac{\sigma}{\sigma(\bar{x})}\right)^{2}$
$n=\left(\frac{4.96824}{0,01}\right)^{2}$
$n=246.824,08$

Das heißt: Man muss 246.824 mal die Messungen wiederholen, um eine Fehlerquote unter 1% zu haben. (?)

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Stell dir mal für deine Messreihe irgendeine Einheit (cm,kg, Liter) vor.

dann wäre  $\overline{x}=16,86 cm$, $s=\sqrt{24.6834 cm^2}=4,96824cm$,  $\Delta\overline{x}=\frac{4.96824c m}{\sqrt{15}}=1,2827941cm$,

Jetzt siehst du vielleicht auch, das deine 0,01 nicht 1 Prozent sondern 0,01 cm entspricht.

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Es scheint, dass wir aneinander vorbeigeredet haben. Die Rechnung bezieht sich auf die Aufgabe b), nicht a). Das für x (mit dem Balken) 16,86 rauskommt und Δx (mit dem Balken) 1,2827941, war klar. Meine Frage war, ob man bei b) 246.824 mal messen muss, damit der Standardfehler <1% ist.

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Nein, ich wollte dich darauf hinweisen, dass die 0,01 in deiner Rechnung nicht stimmt. Wäre es Prozent, welches keine Maßeinheit besitzt. Dann wäre dein Ergebnis n=246.824,08 cm^2. Wie du siehst kürzen sich die Maßeinheiten nicht weg und dein Ergebnis macht keinen Sinn.

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b) Dann gibt es nur noch zwei Möglichkeiten (Einheiten sind rausgekürzt):

1. $\frac{(16,8607)^{2}}{4,96824}=57,21$
$\rightarrow$ Es müssen mind. 57 Messungen gemacht werden $(<1 \%)$

2. $\frac{(16,8607)^{2}}{1,2827941}=221,59$
$\rightarrow$ Es müssen mind. 221 Messungen gemacht werden $(<1 \%)$

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Nein, 1 % vom Mittelwert sind 0,01*16,8607=0,168607

$$n=\frac{s^2}{(\Delta \overline{x})^2}$$

$$n=\frac{4.96824^2}{0.168607^2}=868.27$$