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Der Schlitten einer Transporteinrichtung wird abgebremst. Dabei soll die Energie der geradlinigen Bewegung in einem Schwungrad aus Stahl, Breite b= 300mm (Vollzylinder) gespeichert werden. u= 500   1/min

Berechnen Sie den Schwungraddurchmesser !

Gegeben : m = 200 Kg

                    v = 40 m/min

                    Stahl = 7,85 Kg / dm^3
von

1 Antwort

+1 Punkt

Der ungebremste Schlitten hat eine kinetische Energie von

Ekin = ( 1 / 2 ) * m * v 2

( mit m = 200 kg, v = 40 m/min = ( 2 / 3 ) m/s )

Diese Energie soll beim Abbremsen zum Stillstand von einem Schwungrad aufgenommen werden. Die Rotationsenergie Erot dieses Schwungrades muss  beim Stillstand des Schlittens also geich der kinetischen Energie Ekin des ungebremsten Schlittens sein:

Ekin = Erot

 

Für die Rotationsenergie gilt:

Erot = ( 1 / 2 ) J ω 2

mit

J : Trägheitsmoment
ω : Winkelgeschwindigkeit
(vorliegend: 500 Umdr. / min , also ω = 500 * 2 π rad/min = ( 1000 / 60 ) π  rad/s = ( 100 / 6 ) π  rad/s )

Für das Trägheitsmoment J eines um seine Symmetrieachse rotierenden Vollzylinders mit der Masse m und dem Radius r gilt:

J = ( 1 / 2 ) m r 2

Somit gilt für die Rotationsenergie des betrachteten Schwungrades:

Erot = ( 1 / 2 ) * ( 1 / 2 ) mSchwungrad r 2 ω 2 = ( 1 / 4 ) mSchwungrad r 2 ω 2

 

Die Masse eines Vollzylinders ergibt sich als Produkt aus seinem Volumen V und seiner Dichte ρ

m = V * ρ

wobei sein Volumen V sich aus dem Radius r ergibt:

V = π * r 2 * h

 

Beim hier betrachteten Schwungrad ist die Höhe h gleich der angegebenen Breite b = 300 mm = 0,3 m, sodass also gilt:

VSchwungrad = π * r 2 * 0,3

und damit

mSchwungrad = V * ρ = π * r 2 * 0,3 * ρ

und mit ρ = 7,85  kg/dm3 = 7,85 g/cm3 ergibt sich:

mSchwungrad = V * ρ

= π * r 2 * 0,3 * 7,85

= 2,355 * π * r 2

 

Damit ergibt sich die Rotationsenergie des hier betrachteten Schwungrades insgesamt zu:

Erot = ( 1 / 4 ) mSchwungrad r 2 ω 2

= ( 1 / 4 ) * 2,355 * π * r 2 * r 2 ω 2

= 0,58875 * π * r 2 * r 2 ω 2

= 0,58875 * π * r 4 ω 2

 

Aus

Ekin = Erot

ergibt sich also:

<=> ( 1 / 2 ) * mSchlitten * v 2 = 0,58875 * π * r 4 ω 2

Löst man nach r auf, erhält man:

<=> r 4 = ( ( 1 / 2 ) * mSchlitten * v 2 ) / ( 0,58875 * π * ω 2 )

<=> r = 4√ [ ( ( 1 / 2 ) * mSchlitten * v 2 ) / ( 0,58875 * π * ω 2 ) ]

Setzt man hier noch die bekannten bzw. oben berechneten Werte

mSchlitten  = 200 kg

v = ( 2 / 3 ) m/s

ω = ( 100 / 6 ) π  rad/s

ein, so erhält man schließlich:

r = 4√ [ ( ( 1 / 2 ) * 200 * ( 4 / 9 ) ) / ( 0,58875 * π * ( 10000 / 36 ) π 2 ) ]

= 4√ [ ( 400 / 9 ) / ( 0,58875 * π * ( 10000 / 36 ) π 2 ) ]

≈  0,30597 m

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