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Welche Dreiecke sind zueinander ähnlich ?

1) c=8cm         Alpha=74 Grad           beta= 41 Grad

2) a=5,2cm  b=6,6cm   c=7,8cm

3) a=6,6,cm    b= 9cm    c=11,4cm

4) b=6cm       Alpha=41 Grad    gamma = 74 Grad

5) a=4,1cm   b= 2,8 cm      c=3,5 cm

6) a=3cm b= 3,8 cm      c=2,2cm

Habe bis jetzt nur 1 und 4

Gibt es noch andere ?
von
Zwei Dreiecke sind ähnlich,

a) wenn die im Verhältnis der drei Seiten übereinstimmen.

b) wenn sie im Verhältnis zweier Seiten und dem eingeschlossenen Winkel übereinstimmen

c) wenn sie in zwei Winkeln übereinstimmen

d) wenn sie im Verhältnis zweier Seiten und dem Gegenwinkel der größeren Seite übereinstimmen


obwohl hier nur a) und c) relevant ist
Ist meine Antowrt also richtig ?
ja scheint so

1 Antwort

+2 Daumen

Die Bedingungen für die Ähnlichkeit von Dreiecken hat Bepprich ja bereits genannt.

Daraus ergibt sich unmittelbar:

D1 und D4 sind zueinander ähnlich, da sie in zwei (und somit in allen drei) Winkeln übereinstimmen.

 

Bei den übrigen vier Dreiecken sind die Seitenlängen angegeben. Um nun zu untersuchen, ob es darunter einander ähnliche gibt, sortiert man die Seitenlängen jeweils aufsteigend und betrachtet zunächst jeweils die Verhältnisse der kürzesten und der nächstlängeren Seite, also:

D2)

5,2 | 6,6 | 7,8 

5,2 / 6,6 = 0,787878...

 

D3)

6,6 | 9 | 11,4

6,6 / 9 = 0,7333...

 

D5)

2,8 | 3,5 | 4,1

2,8 / 3,5 = 0,8

 

D6)

2,2 | 3 | 3,8

2,2 / 3 = 0,7333...

D3 und D6 stimmen in den Verhältnissen ihrer beiden jeweils kürzesten Seiten überein. Bei den übrigen Dreiecken ist keine Übereinstimmung festzustellen.

Für die Dreiecke D3 und D6 muss noch geprüft werden, ob sie auch in den Verhältnissen ihrer beiden längsten Seiten übereinstimmen:

D3: 9 / 11,4 = 0,78947...

D6: 3 / 3,8 = 0,78947...

Also sind auch D3 und D6 zueinander ähnlich.

 

Nun muss noch untersucht werden, ob die zueinaner ähnlichen Dreiecke D1 bzw. D4, die ja zum Teil mit Winkeln angegeben wurden, ähnlich zu einem der übrigen Dreiecke sind. Dazu müssen die Seitenlängen von D1 berechnet werden. Das geht am einfachsten mit dem Sinussatz:

D1:

Der dritte Winkel gamma beträgt 180° - 74° - 41° = 65°

Also gilt nach dem Sinussatz:

sin ( 65° )  / 8 = sin ( 74° )  / a <=> a = 8 * sin ( 74° ) / sin ( 65° ) ≈ 8,4851

sin ( 65° )  / 8 = sin ( 41° )  / b <=> b = 8 * sin ( 41° ) / sin ( 65° ) ≈ 5,7910

Das Verhältnis der kürzesten zur nächstlängeren Seite ist:

b / c = 5,791 / 8 =  0,723875

 

Also ist D1 nur zu D4 ähnlich aber zu keinem der anderen Dreiecke.

Da D1 und D4 zueinander ähnlich sind, ist auch D4 zu keinem der anderen Dreiecke ähnlich.

 

Ergebnis:

Zueinander ähnlich sind die Dreiecke D1 und D4 sowie die Dreiecke D3 und D6.
Weitere Ähnlichkeiten bestehen nicht.

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