a)
Zunächst einmal die Ebenengleichung in die Form
a x 1 + b x 2 + c x3 = d
bringen:
Et:
x1 + ( t - 3 ) * x2 + ( 2 t - 1 ) * x3 + 4 t - 7 = 0
<=> x1 + ( t - 3 ) * x2 + ( 2 t - 1 ) * x3 = 7 - 4 t
Eine Ebene in Koordinatenform ist parallel zur x1 - Achse, wenn der Parameter a den Wert 0 hat.
Vorliegend ist dieser Parameter konstant 1, also ist keine der Ebenen der Schar parallel zur x1 Achse.
Die Ebene ist parallel zur x2 - Achse, wenn der Parameter b den Wert 0 hat.
Vorliegend ist dieser Parameter ( t - 3 ) , sodass also die Ebene E3 der Schar parallel zur x2- Achse verläuft.
Die Ebene ist parallel zur x3 - Achse, wenn der Parameter c den Wert 0 hat.
Vorliegend ist dieser Parameter ( 2 t - 1 ) , sodass also die Ebene E1/2 der Schar parallel zur x3- Achse verläuft.
Die Ebene enthält den Ursprung, ist also eine Ursprungsebene, wenn der Parameter d den Wert 0 hat. Vorliegend ist dieser Koeffizient ( 7 - 4 t ) , sodass also die Ebene E7/4 der Schar den Ursprung enthält.
b)
Eine Ebene in Koordiantenform ist genau dann orthogonal zu einer der Koordiantenachsen, wenn sie parallel zu den beiden anderen Achsen verläuft.
Um also zur x3 - Achse othogonal zu sein, muss gelten:
a = 0 und b = 0
Da der Parameter a der Ebenenschar aber konstant 1 ist, kann diese Bedingung von keiner der Ebenen erfüllt werden, daher ist keine der Ebenen der Schar orthogonal zur x3 - Achse.
Um zur x1 - Achse othogonal zu sein, muss gelten:
b = 0 und c = 0
also:
t - 3 = 0 und 2 t - 1 = 0
Das aber ist für keinen Wert von t erfüllbar, daher ist keine der Ebenen der Schar orthogonal zur x1 - Achse.
Um zur x2 - Achse othogonal zu sein, muss gelten:
a = 0 und c = 0
Da der Parameter a der Ebenenschar aber konstant 1 ist, kann diese Bedingung von keiner der Ebenen erfüllt werden, daher ist keine der Ebenen der Schar orthogonal zur x2 - Achse.
Fazit: Keine der Ebenen der Schar Et ist orthogonal zu einer der Koordinatenachsen.
