orthonormierte basis bilden

Question

Die Vektoren a und b sollen eine orthonormierte Basis bilden. Geben Sie entsprechende Werte für x₁, x₂ und x₃ an.

a =  1/x₁ (-4 | 3)

b = x₂ (x₃ | 4)

Answer 1

Orthonormiert bedeutet, dass die Vektoren senkrecht aufeinander stehen und die Länge 1 haben.

Zwei Vektoren stehen senkrecht aufeinander, wenn ihr Skalarprodukt den Wert 0 hat.

Die Länge d eines Vektors ( a | b ) wird durch die euklidische Norm berechnet:

d = √ ( a ² + b ² )

 

Für die gegebene Vektoren muss also gelten:

a * b = 0

d ( a ) = 1

d ( b ) = 1

 

Also ergeben sich folgende Gleichungen:

( -4 / x₁ ) * x ₂ * x₃ + 3 / x₁ * 4 * x₂ = 0

√ ( ( - 4 / x₁ ) ² + ( 3 / x₁ ) ² ) = 1

√ ( ( x₂* x₃ ) ² + ( 4 * x₂ ) ² ) = 1

 

Aus der zweiten Gleichung ergibt sich:

√ ( ( - 4 / x₁ ) ² + ( 3 / x₁ ) ² ) = 1

<=> ( - 4 / x₁ ) ² + ( 3 / x₁ ) ² = 1

<=> 16 + 9 = x₁²

<=> x₁ = 5 ∨ x = - 5

Aus der ersten Gleichung ergibt sich:

( -4 / x₁ ) * x ₂ * x₃ + ( 3 / x₁ ) * 4 * x₂ = 0

<=> ( 3 / x₁ ) * 4 * x₂ = ( 4 / x₁ )  * x ₂ * x₃

<=> ( 3 / x₁ ) * 4 = ( 4 / x₁ )  * x₃

<=> 12 / x₁ = ( 4 * x₃ ) / x₁

<=> 12 = 4 * x₃

<=> x₃ = 3

Aus der dritten Gleichung ergibt sich damit:

:√ ( ( x₂* x₃ ) ² + ( 4 * x₂ ) ² ) = 1

<=> ( x₂* 3 ) ² + ( 4 * x₂ ) ² = 1

<=> 25 x₂² = 1

<=> x₂ = 1 / 5 ∨ x₂ = - 1 / 5

Comments

Spielen die negativen Lösungen der quadratischen Gleichungen hier keine Rolle?

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Vielen Dank für die berechtigte Nachfrage.

Auch die negativen Lösungen der quadratischen Gleichungen für x₁ bzw. x₂ sind Lösungen der gestellten Aufgabe. Die Vektoren sind dann jeweils entgegengesetzt orientiert.

Insofern ist meine Lösung nicht vollständig (bzw. wegen der verwendeten Äquivalenzzeichen sogar falsch). Ich habe sie daher in meiner Antwort korrigiert (rot markiert).