Quadratische Säule. Welchen Winkel bilden die Körperdiagonalen von....

Question

Eine quadratische Säule mit den Grundkanten a = 1.4m ist h= 4.7 m hoch. Welchen Winkel bilden die zwei Körperdiagonalen, die von

a) benachbarten b) diagonal gegenüberliegenden

Ecken des Grundquadrates ausgehen?

Comments

Darfst / Kannst du schon mit Vektoren rechnen? Das geht viel schneller als über die Dreiecke.

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Hallo Lu :) Nein wir haben keine Vektoren Rechnung.  Ich muss diese Aufgaben mit den Formeln für die Dreiecks Berechnung berechnen. Kannst du mir helfen? :)

Answer 1

Das ist schon einigermaßen heavy :-)

Am einfachsten ist es vielleicht, wenn du in Gedanken die Säule in der Höhe halbierst und dir dann den Körper vorstellst, der aus der Grundfläche der Säule besteht und dessen übrige Kanten durch die Raumdiagonalen der ursprünglichen Säule gegeben sind.
Erkenne, dass es sich bei diesem Körper um eine gerade quadratische Pyramide handelt, deren Spitze der Schnittpunkt der Raumdiagonalen der ursprünglichen Säule ist. Diese Pyramide ist gerade halb so hoch wie die ursprüngliche Säule, also 2,35 m.

Gesucht sind nun die Größen derjenigen Winkel, die

a) zwei benachbarte Seitenkanten bzw.

b) zwei gegenüberliegende Seitenkanten

der Pyramide an der Spitze bilden.

 

zu a)

Sei a = 1,4 m die Länge der Grundkante und h = 2,35 m die Höhe der Pyramide

Sei außerdem h_a die Höhe auf die Grundseite eines der gleichschenkligen Seitendreiecke der Pyramide.

Gesucht ist die Größe des Scheitelwinkels dieses gleichschenkligen Dreiecks.

Für diesen Winkel, ich nenne ihn gamma, gilt:

tan ( gamma / 2 ) = ( a / 2 ) / h_a

<=> gamma = 2 * arctan ( ( a / 2 ) / h_a)

mit a = 1,4 m

<=> gamma = 2 * arctan ( 0,7 / h_a)

h_a ist Hypotenuse des rechtwinkligen Dreiecks, dessen Katheten die Höhe h = 2,35 m der Pyramide und die halbe Länge der Grundseite der Pyramide ist (Entfernung Grundseite zum Fußpunkt der Höhe), also 0,7 m

Folglich gilt:

h_a² = 2,35 ² + 0,7 ²

<=> h_a = √ ( 2,35 ² + 0,7 ² )

Einsetzen in die Formel für gamma ergibt:

gamma = 2 * arctan ( 0,7 / √ ( 2,35 ² + 0,7 ² ) ) ≈ 31,9 °

 

zu b)

Gesucht ist der Winkel, den zwei einander gegenüberliegende Seitenkanten der Pyramide an deren Spitze bilden.

Für diesen Winkel, ich nenne ihn delta, gilt:

tan ( delta / 2 ) = ( d / 2 ) / h

delta = 2 * arctan ( ( d / 2 ) / h )

wobei h die Höhe der Paramide ist ( h = 2,35 m ) und d die Länge der Diagonalen der Grundfläche der Pyramide.

Für diese Länge d gilt :

d ² = a ² + a ²

<=> d = √ ( 2 a ² ) = a * √ 2

Einsetzen in die Formel für delta ergibt:

delta = 2 * arctan ( ( a * √ 2 / 2 ) / h )

mit a = 1,4 und h = 2,35 :

<=> delta = 2 * arctan ( 0,7 * √ 2  / 2,35 ) ≈ 45,7 °

Comments

Vielen Dank JotEs ! Du hast es so gut erklärt! :D

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Du hast es wirklich verstanden ?!?!?  ... :-)