Potenzfuktionen mit ganzzahligen Exponenten

Question

Hi,

Ermittle für f₁(x)=x⁹ ; f₂(x)=x¹² ; f₃(x)= x¹⁵  ; f₄(x)= x¹⁸ Intervalle in denen gilt :

f₁(x) < f₂(x)

; f₃(x) < f₂ (x)

; f₄ (x)<f₂(x)

; f₂ (x) < f₃ (x)

Bitte mit Lösungsweg

Answer 1

Hi,

 

f₁(x) < f₂(x):

Das wäre beispielsweise für x ∈ (100;200) der Fall. Da der höhere Exponent natürlich stärker ist.

 

f₃(x) < f₂ (x):

Das wäre beispielsweise für x ∈ (-100;-200) der Fall. f₂(x) ist nämlich stets positiv, aber f₃(x) ist negativ.

 

f₄ (x)<f₂(x):

Das wäre beispielsweise für x ∈ (0,1;0,2) der Fall. Bei Zahlen kleiner 1 sorgt der größere Exponent dafür, dass der Potenzwert schneller kleiner wird.

 

f₂ (x) < f₃ (x):

Das wäre beispielsweise für x ∈ (100;200) der Fall. Da der höhere Exponent natürlich stärker ist. (Wie bei ersterem).

 

Grüße

Comments

Vielen Dank , danke auch für die tollen Erklärungen !

Answer 2

Man muss ein wenig über diese Potenzfunktionen wissen. Beispielsweise haben alle genannten Potenzfunktionen die Punkte (0|0) und (1|1) gemeinsam. Weiter haben die geraden Potenzfunktionen noch den Punkt (-1|1) und die ungeraden den Punkt (-1|-1) gemein. Weitere gemeinsame Punkte gibt es nicht. Nur an den gemeinsamen Punkten können zwei Graphen sich kreuzen und damit die Kleiner-Größer-Beziehung ihrer Werte ändern, sie müssen es aber nicht. Damit lässt sich die Aufgabe lösen.