Grenzwertsatz für Summen von Reihen und Reihen von Summen?

Question

Hallo :-),

Soweit ich weiß gibt es einen Grenzwertsatz für Summen, wie geht dieser nun und an was stelle ich fest, dass ich diesen Grenzwertsatz anwenden muss?

Wäre nett wenn es einer an einem Beispiel schrittweise erklären könnte. :)

Answer 1

Du meinst für Reihen?

Es gilt: Sind die Reihen $$\sum_{k = 0}^{\infty} a_k$$ und $$\sum_{k=0}^{\infty} b_k$$ konvergent, so ist auch $$ \sum_{k=0}^{\infty} a_k + b_k$$ konvergent und es ist $$\sum_{k=0}^{\infty} a_k + b_k = \sum_{k=0}^{\infty} a_k + \sum_{k=0}^{\infty} b_k$$.

Also zum Beispiel

$$\sum_{k=0}^{\infty} (\frac{1}{2})^k + (\frac{3}{4})^k$$ ist konvergent mit Grenzwert 6, weil $$\sum_{k=0}^{\infty} (\frac{1}{2})^k$$ eine konvergente geometrische Reihe mit Grenzwert 2 und $$\sum_{k=0}^{\infty} (\frac{3}{4})^k$$ eine konvergente Reihe mit Grenzwert 4 ist.


Wann du ihn anwenden kannst? Wenn er dir die Rechnung vereinfacht.