Konvergente Potenzreihe finden zu ƒ(x)= 2/(3+8x)

Question

ich habe folgende Aufgabe, bei der ich nicht genau weiß, wie ich sie lösen kann:


Es sei die Funktion ƒ(x)= 2/(3+8x) gegeben. Bestimmen Sie eine Potenzreihe, die gegen ƒ(x) konvergiert.

Answer 1

$$\text{Bekanntlich gilt }\sum_{n=0}^\infty x^n=\frac1{1-x}\text{ für }-1< x<1.$$$$f(x)=\frac2{3+8x}=\frac23\cdot\frac1{1+\frac83x}=\frac23\cdot\sum_{n=0}^\infty\left(-\frac83x\right)^n$$$$=\sum_{n=0}^\infty(-1)^n\cdot\frac{2^{3n+1}}{3^{n+1}}x^n\text{ für }-\frac38< x<\frac38.$$