Restglied nach Lagrange abschätzen - warum, wenn Stelle bekannt?

Question

also die Aufgabe ist: Bestimmen Sie das Taylor-Polynom 3. Grades für die Funktion $$f: \mathbb{ R } \rightarrow \mathbb{R}, x \mapsto \frac{1}{x}$$ an der Stelle x0 = 1. Schätzen Sie den Approximationsfehler für x = 2 mit Hilfe des Restglieds ab.

Das Taylor-Polynom 3. Grades ist $$T_3 (x) = -x^3 + 4x^2 - 6x + 4$$. Warum soll ich den Fehler für x = 2 jetzt abschätzen, wenn ich ihn doch direkt berechnen kann mit $$| R_4 (2) | = | f(2) - T_3(2) | = | f(2) | = \frac{1}{2}$$ ?

Da brauche ich doch nichts abschätzen. Macht es nicht eher Sinn, den Fehler für ein x aus einem bestimmten Intervall abzuschätzen?

Danke,

Thilo

Comments

Und was ist für sin(0,3) der Fall? Nur als Beispiel. Das kann man ohne Sinusfunktion am Taschenrechner dann nicht mehr so leicht machen ;). Und es gibt noch kompliziertere Beispiele.

---

Nee, ich zweifle ja nicht allgemein daran, dass das Abschätzen des Fehlers sinnvoll ist. Nur bei dieser Aufgabe: Warum soll ich den Fehler abschätzen, wenn ich eine explizite Stelle gegeben habe, an der der Fehler abgeschätzt werden soll, wenn ich ihn doch exakt berechnen kann? Wenn da stünde "Schätzen Sie für $$x \in (1,2)$$ den Fehler ab, hätte ich das ja verstanden. Da kann man ihn ja auch nicht direkt berechnen.

---

Ich denke das ist gerade der Sinn der Aufgabe. Du hast eine einfache Aufgabe, wo Du die Abschätzung direkt überprüfen kannst, ob Du richtig gerechnet hast, bzw. wie "gut" eine solche Abschätzung ist ;).

---

Könnte es sein, dass ihr eine Maschine baut, die noch nicht dividieren kann?

---

Hehe, nein. Aber kann sein, dass unserer Programmieren-Professor demnächst auf die Idee kommt. Stimmt, mit der Taylor-Reihe könnte man das natürlich. Wir haben ja schon eine Klasse programmiert, die Multiplikation, Addition und Subtraktion mit beliebig langen natürlichen Zahlen kann, Division aber noch nicht ^^