Potenzreihenentwicklung von f(x)=cosx/(1+x^2)

Question

Wie lautet die Potenzreihenentwicklung der Funktion \( f(x)=\frac{\cos (x)}{1+x^{2}} \) bis zum Glied mit \( x^{4} \) ?

Geben Sie den Konvergenzradius \( R \) der Reihe an. Geben Sie \( f^{(4)}(0) \) an.

Stimmt das bis dahin?

\( f(x)=\frac{\cos (x)}{1+x^{2}}=\frac{1}{1+x^{2}} \sum \limits_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^{n} x^{2 n}}{(2 n) !}=\sum \limits_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^{n} x^{2 n}}{(2 n) !\left(1+x^{2}\right)} \)
Konvergenzradius \( R=\infty \)

Ich weiß jetzt nicht weiter bei der Potenzreihenentwicklung..

Answer 1

$$\cos x=1-\frac12x^2+\frac1{24}x^4-\dots\text{ für }x\in\mathbb R$$$$\frac1{1+x^2}=1-x^2+x^4-\dots\text{ für }-1< x<1$$$$\frac{\cos x}{1+x^2}=\left(1-\frac12x^2+\frac1{24}x^4-\dots\right)\cdot\left(1-x^2+x^4-\dots\right)$$$$=1-\frac32x^2+\frac{37}{24}x^4-\dots$$