Drehmatrix zweidimensional. Einheitsvektoren um 45° drehen.

Question

ein komplett brandneues Thema was ich noch nie gesehen habe. Wie geht man an solche Aufgaben heran?
Die Drehung eines Vektors um den Ursprung eines 2-dimensionalen Koordinatensystems um einen Winkel $\alpha$ kann durch die Matrix $\mathbf{D}^{(2)}(\alpha)$ beschrieben werden:
$$\mathbf{D}^{(2)}(\alpha)=\left(\begin{array}{cc} {\cos \alpha} & {-\sin \alpha} \\ {\sin \alpha} & {\cos \alpha} \end{array}\right)$$
(Bsp) Berechnen Sie die um $90^{\circ}$ gedrehten Einheitsvektoren $\mathbf{D}^{(2)}\left(90^{\circ}\right)(1,0)^{T}$ und $\mathbf{D}^{(2)}\left(90^{\circ}\right)(0,1)^{T}$ und fertigen Sie dazu eine kleine Skizze an.

(a) Drehen Sie nun, analog zur Beispielaufgabe, die Einheitsvektoren um 45° und fertigen Sie ebenfalls eine kleine Skizze an. (Ohne Taschenrechner!) Ich habe erst einmal a) hochgeladen und werde Schritt für Schritt die anderen Teilaufgaben hochladen (b-d).



PS: Da ich wirklich dankbar für eure Unterstützungen bin vergebe ich wie immer Punkte bzw. einen Stern!

zu a)

Man kann doch 45° als π/4 schreiben, oder? 45°≅ π/4,√2≈1,4

Bislang gab es nur Vektoren mit Zahlen, z.B. Vektor a=[0|1], Vektor b= [-6|2]. Das Vektoren Funktionen enthalten können ist mir ebenfalls neu.

Answer 1

Bei (c) musst du nun Matrizen miteinander multplizieren. Ich hoffe du weisst, wie man das macht: Skalarprodukte von Zeilen der ersten Matrix mal Spalten der 2. Matrix.

Benutze Alpha und Beta statt x und y.

| cosx -sinx |           |cosy -siny|
| sinx   cosx|     *     |siny  cosy|

Nun bekommst du in den einzelnen Stellen der Produktmatrix genau die Formeln raus für die Additionstheoreme und es ergibt sich die Matrix

| cos(x+y)   -sin(x+y) |
| sin(x+y)     cos(x+y) |

Bei (b) musst du nur
| cosx -sinx |           |cosy -siny|
| sinx   cosx|     *     |siny  cosy|

mit
| cosy -siny |           |cosx -sinx|
| siny   cosy|     *     |sinx  cosx|

vergleichen und feststellen, dass die beiden resultierenden Matrizen die gleichen Elemente enthalten.

Bei (d) rechnest du die Drehmatrix mal den Vektor x =(u,v)

| cosx -sinx |           | u |
| sinx   cosx|     *     | v ||

Nun bestimmst du den Betrag des resultierenden Vektors.

Du solltest den so weit vereinfachen können, dass die Länge des gegebenen Vektors rauskommt.
D.h. r = √(u^2 + v^2)

Comments

Hallo Lu,

vielen Dank für deine Mühe und deine übersichtliche Darstellung! Ich muss erst einmal die schweren Brocken verdauen. Ich werde nochmals alle 4 Teilaufgaben durchgehen und versuchen die Rechenwege zu verstehen. Auch ein großen Dank an ullim für die Unterstützung der Teilaufgabe a).

Ich wünsche Euch noch einen schönen Abend!

Answer 2

Hi,

Du musst cos(45°) und sin(45°) berechnen. Da beide Werte bei 45° gleich groß sind und $sin(x)^2+cos(x)^2=1$ gilt, folgt $cos(45°)=sin(45°)=\frac{\sqrt(2)}{2}$

Damit sieht die Matrix jetzt wie folgt aus $D=\left( \begin{matrix} \frac{\sqrt(2)}{2} & -\frac{\sqrt(2)}{2} \\ \frac{\sqrt(2)}{2} & \frac{\sqrt(2)}{2} \end{matrix} \right)$ Jetzt muss man diese Matrix mit den beiden Vektoren multiplizieren und man erhält $D \left( \begin{matrix} 1 \\ 0 \end{matrix} \right)=\left( \begin{matrix} \frac{\sqrt(2)}{2} \\ \frac{\sqrt(2)}{2} \end{matrix} \right)$ und $D \left( \begin{matrix} 0 \\ 1 \end{matrix} \right)=\left( \begin{matrix} -\frac{\sqrt(2)}{2} \\ \frac{\sqrt(2)}{2} \end{matrix} \right)$

Comments

Hallo ullim,

vielen Dank für deine Bemühung! Was sagt mir die 0,7071... aus? Du hast 2 Matrizen einmal D(1|0) und D(0|1) mit (0,7071|0,7071) und (-0,7071|0,7071). Brauch man nur die beiden Vektoren bei Geogebra eingeben?

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zu c) Die Additionstheoreme ermöglichen die Ableitungen von Sinus und Cosinus berechnen zu können.

sin(x+y) und cos(x+y)

Geht es nicht um trigonometrische Funktionen mit Winkel?

sin(x+y)=cos(x)sin(y)+sin(x)cos(y)

cos(x+y)=cos(x)cos(y)-sin(x)sin(y)

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Tut mir Leid, ich komme nicht weiter, weil ich nicht weiß wie man solche Aufgaben berechnet. Ich sehe die komplizierten Ausdrücke wie D⁽²⁾ zum ersten Mal. Vielleicht bedeutet es in der 2 Dimension.

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Ich kenne eine Ebene und einen Raum. Ein Vektor kann sich in einem Raum oder auf einer Ebene befinden.

Beispiele:
2D-Raum: A=(0|1)
3D-Raum: B=(-1|0|1)
D⁽²⁾-Raum: ???

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Der Drehwinkel ist ja 45°. Nun hat Ullim in der Drehmatrix cos(45°) = 1/√2 und sin(45°) = 1/√2 eingesetzt. Mathematisch solltest du da nicht runden.

Dann um die beiden Einheitsvektoren zu drehen rechnet Ullim Matrix mal (1,0) und Matrix mal (0,1).

Raus kommen die berechneten beiden Vektoren.
Du stellst fest, dass die Bildvektoren der beiden Einheitsvektoren in den Spalten der Abbildungsmatrix stehen.