Kurvendiskussion f(x)=(x^3-27)(x^3+27) - Extrema beweisen.

Question

f(x)=(x^3-27)(x^3+27) --> f(x)=x^6-729

Ableitungen

f'(x)=6x^5, f''(x)=30x^4, f'''(x)=120x^3

Nullstellen habe ich bereits berechnet: 3 und -3

Bei der Berechnung der Extrema kann dieses nicht bewiesen werden, denn nach Auflösen dre 1. Ableitung kommt für x = 0 raus. Bei Einsetzen von 0 in die 2. Ableitung ist das Ergebnis 0.

Wie geht es nun weiter? Wendepunkt, Sattelpunkt? Ich bekomme es nicht mehr richtig zusammen.

Eine Schritt für Schritt Anleitung an dieser Stelle wäre super.

VIelen Dank!

Comments

Schau mal an, was Wolframalpha damit macht.
https://www.wolframalpha.com/input/?i=f%28x%29%3Dx%5E6-729

So viele weitere interessante Punkte gibt es nicht mehr. Z.B. weder Sattelpunkt noch Wendepunkt.

Ableitung f '(x) = 5x^5

ist eine ungerade Potenzfunktion. Sie ist punktsymmetrisch zu (0,0) und ändert an der Stelle x=0 das Vorzeichen. Das ist der Beweis für das Extremum in x=0.

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Danke. Das war schon mal sehr hilfreich.

Eine Sache ist mir nicht ganz klar: "... und ändert an der Stelle x=0 das Vorzeichen."

In WELCHE Ableitung muss ich WAS (welchen x-Wert) eingeben? Ich sehe leider kein Vorzeichenwechsel.

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ahh, ich glaub ich sehe es. Man muss die 1. Ableitung nehmen.

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Ja genau. Die 1. Ableitung ist ja die Steigung. Bei einem lokalen Extremum muss die Kurve auf einer Seite steigen und auf der andern fallen.

Answer 1

Funktion und Ableitungen

f(x) = (x^3 - 27)·(x^3 + 27) = x^6 - 729
f'(x) = 6·x^5
f''(x) = 30·x^4

Y-Achsenabschnitt f(0)

f(0) = -729

Nullstellen f(x) = 0

(x^3 - 27)·(x^3 + 27) = 0
x = ± 3

Symmetrie

Achsensymmetrie bedingt durch die Geraden Potenzen von x.

Grenzwerte

lim (x → -∞) f(x) = ∞
lim (x → ∞) f(x) = ∞

Extrempunkte f'(x) = 0

6·x^5 = 0
x = 0

f(0) = -729 → Tiefpunkt

Wendepunkte f''(x) = 0

30·x^4 = 0
x = 0

Kein Wendepunkt, da 4-fache Nullstelle. Daher Flachpunkt.