Komplexe Zahlen - quadratische Gleichung und Darstellung

Question

mich beschäftigen folgende Aufgaben:

Darzustellen mit Hilfe von x und y sind:

Re (iz)/Im(z quer)        Meine Lösung: (i*(x+yi))/(x-yi) = (ix-y)/(x-yi) Ist dann der Realteil nicht eigentlich nur -(y/x) und der

Imaginärteil dann -(x/y)??

Re((1-i)*z)-Im((1-i)*z quer)       Meine Lösung: Erstmal schauen, was (1-i)*z quer ist: (1-i)*(x-yi)=x-yi-xi+y, ich würde sagen, dass der Realteil dann davon x+y und der Imaginärteil -y-x ist, stimmt das oder was muss ich da sonst machen?


Zweite Frage: iz^2+4z-3=0            --> Da habe ich zunächst mal (-i) gerechnet, dann ist: z^2-4iz+3i=0

Für die pq-Formel gilt dann: p= -4i, q= 3i

Dann habe ich die Lösungen für z raus: z1= 2i+ Wurzel aus (-4-3i) v. z2= 2i- Wurzel aus (-4-3i)

Stimmt das?

Und zu guter Letzt: Ich soll die Quadratwurzeln folgender Werte angeben: z=-7, z=i und z= 4+3i

Ich bekomme da Fogendes raus: z1=7 v. z2= -7

z1= i v. z2= -i

z1= 4+3i v. z2= -4-3i

Stimmen meine Ergebnisse?


Danke schon einmal!! :)

Comments

Kennt sich hier keiner damit aus? :(

Answer 1

Re (iz)/Im(z quer)        Meine Lösung: (i*(x+yi))/(x-yi) = (ix-y)/(x-yi) Ist dann der Realteil nicht eigentlich nur -(y/x) und der

Imaginärteil dann -(x/y)??

Schau genau, was du tun sollst:

Der Ausdruck (ix-y)/(x-yi) ist gleich dem Ausdruck iz / z_quer

Du sollst aber Re ( iz ) / Im ( z_quer ) bestimmen, also

Re ( i x - y ) / Im ( x - iy )

und das ergibt:

= - y / - y

= 1

 

Re ( ( 1 - i ) z ) - Im ( ( 1 - i ) * z_quer )

= Re ( ( 1 - i ) ( a + b i ) ) - Im ( ( 1 - i ) * ( a - b i ) )

= Re ( a + b - a i + b i ) - Im ( a - b - a i - b i )

= a + b - ( a - b )

= 2 b

 

Die zweite Aufgabe: iz²+4z-3=0  hast du richtig gelöst :-)

 

Zur dritten Aufgabe:

√ ( - 7 ) kann nicht gleich 7 oder - 7 sein, denn 7 ² = ( - 7 ) ² = 49

Richtig ist statt dessen:

x = √ ( - 7 )

<=> x = √ ( i ² * 7 )

<=> x = √ ( i ² ) * √ ( 7 )

<=> x = i * √ ( 7 ) oder x = ( - i ) * √ ( 7 )

 

x = √ ( i )

<=> x = ⁴√ ( i ² )

<=> x = ⁴√ ( -1 )

oder auch:

x = √ ( i )

<=> x = √ ( 2 i / 2 )

<=> x = √ ( ( 1 + 2 i  - 1 ) / 2 )

<=> x = √ ( ( 1 + 2 i  + i ² ) / 2 )

<=> x = √ ( ( 1 + i ) ² / 2 )

<=> x = ( 1 + i ) / √ ( 2 ) 

Comments

Achso, also schaue ich mir bei Re logischerweise immer nur den Realteil und bei Im den Imaginärteil an und rechne dann danach wie gehabt? (zum allgemeinen Verständnis :))

Bei dem letzten war ich irgendwie etwas irritiert:


Wir hatten zuvor zeigen müssen, dass die beiden komplexen Quadratwurzeln von z € C\R<=0 durch:

(Wurzel aus |z|)*((z + |z|)/(|z+|z||) gegeben sind. Als Tipp haben wir von einem Übungsleiter bekommen,

dass wir das Ganze erst quadrieren müssen, deswegen dachte ich, kommen meine Ergebnisse raus.

Muss ich denn dann von der Gleichung oben auch die Wurzel ziehen?

Ich blicke da noch nicht so recht durch ...

Answer 2

Re (iz)/Im(z quer)

Re(i·z) = Re(i·(x + i·y)) = Re(i·x + i²·y) = Re(i·x - y) = - y

Im(z quer) = Im(x - i·y) = - y

Re(...)/Im(...) = - y / - y = 1

 

Re((1 - i) * z) - Im((1 - i) * z quer)

Re((1 - i) * (x + i·y)) - Im((1 - i) * (x - i·y))

Re(- i·x + x - i²·y + i·y) - Im(- i·x + x + i²·y - i·y)

Re(- i·x + x + y + i·y) - Im(- i·x + x - y - i·y)

(x + y) - (-x - y)

2·x + 2·y

 

i·z² + 4·z - 3 = 0

i·(x + i·y)² + 4·(x + i·y) - 3 = 0

i·(x² + 2·i·x·y + i²·y²) + (4·x + 4·i·y) - 3 = 0

i·(x² + 2·i·x·y - y²) + (4·x + 4·i·y) - 3 = 0

(i·x² + 2·i²·x·y - i·y²) + (4·x + 4·i·y) - 3 = 0

(i·x² - 2·x·y - i·y²) + (4·x + 4·i·y) - 3 = 0

i·x² - 2·x·y + 4·x - i·y² + 4·i·y - 3 = 0

Realteil

- 2·x·y + 4·x - 3 = 0
y = (4·x - 3)/(2·x)

Imaginärteil

x² - y² + 4·y = 0
x² - ((4·x - 3)/(2·x))² + 4·((4·x - 3)/(2·x)) = 0
x² - (4·x - 3)²/(4·x²) + (8·x - 6)/x = 0
(4·x⁴ + 16·x² - 9)/(4·x²) = 0
4·x⁴ + 16·x² - 9 = 0

x = - √2/2 --> y = (4·(- √2/2) - 3)/(2·(- √2/2)) = 3·√2/2 + 2

x = √2/2 --> y = (4·(√2/2) - 3)/(2·(√2/2)) = 2 - 3·√2/2

 

√(-7) = √7·i

√i = √2/2 + √2/2·i

√(4 + 3·i) = 3·√2/2 + √2/2·i

Comments

Wenn, wie üblich, z_quer das konjugiert Komplexe von z sein soll, dann gilt:

z =  x + i y => z_quer = x - i y

und nicht z_quer = y + i  x

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Du hast natürlich recht