Hilfe beim Lösen von Logarithmusfunktionen bzw. Bitte Korrektur

Question

Ich soll folgende Logarithmusfunktionen zusammenfassen und würde gerne wissen ob ich es richtig gemacht habe oder wo ich einen Fehler habe:

d) 2/3 log_b a - 4/5log_b a + 3/4log_ba -> ((40/60) / (56/60)) * 45/60 -> 15/28 log_ba

e) 1/3ln (ab) -2/3 ln (a) + 1/6 ln (ab) -> 2/6ln (a) + 2/6ln (b) - 4/6ln (a) + 1/6ln (a) + 1/6ln(b)

-> ((2/6) / (4/6) *1/6) ln(a) +(2/6* 1/6) ln (b) -> 1/12ln (a) +1/18ln(b)

f) 1/3log_b (x² -y² ) - 1/3log_b (x+y)  -> 1/3 log_b (x-y)(x+y) - 1/3log_b (x+y) -> 1/3log_b ((x-y)(x+y) / (x+y) -> 1/3 log_b (x-y)

Hab ich das nun endlich richtig? Wäre jemand könnte mal drüber schauen.

Vielen Dank :)

Answer 1

d)

2/3 log_b a - 4/5log_b a + 3/4log_ba -> ((40/60) / (56/60)) * 45/60 -> 15/28 log_ba

Das ist leider ziemlich falsch. Denn ob du nun Logarithmen zur Basis b von a oder Äpfel addierst und subtrahierst: Beides läuft eben auf eine Summe hinaus.

Denselben Fehler hast du auch bei e ) gemacht. Offenbar hast du dir da also etwas Falsches eingeprägt ... !

Richtig ist:

2/3 log_b a - 4/5log_b a + 3/4log_ba

= ( ( 2 / 3 ) - ( 4 / 5 ) + ( 3 / 4 ) ) * log_b a

= ( ( 40 / 60 ) - ( 48 / 60 ) + ( 45 / 60 ) ) * log_b a

= ( 37 / 60 ) * log_b a

e)

1/3ln (ab) -2/3 ln (a) + 1/6 ln (ab)

= ( 2 / 6 ) ln ( a b ) + ( 1 / 6 ) ln ( a b ) - ( 2 / 3 ) ln ( a ) 

= ( 3 / 6 ) ln ( a b ) - ( 2 / 3 ) ln ( a )

= ( 1 / 2 ) ( ln ( a ) + ln ( b ) ) - ( 2 / 3 ) ln ( a )

= ( 1 / 2 ) ln ( a ) + ( 1 / 2 ) ln ( b ) - ( 2 / 3 ) ln ( a )

= ( - 1 / 6 ) ln ( a ) + ( 1 / 2 )  ln ( b )

 

f)

1/3log_b (x² -y² ) - 1/3log_b (x+y) 

=  (1 / 3 ) log_b ( x - y ) ( x + y ) - ( 1 / 3 ) log_b ( x + y )

=  (1 / 3 ) ( log_b ( x - y ) ( x + y ) - log_b ( x + y ) )

= (1 / 3 ) log_b ( ( x - y ) ( x + y ) / ( x + y ) )

= (1 / 3 ) log_b ( x - y )

Hier hast du richtig gerechnet (wenn auch eine Klammer vergessen :-)  )

Comments

ahhhh ich hab das verwechselt mit z:b. x(a+b) denn dann könnte ich das doch so ausklammern wie oben gemacht oder?

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Vermutlich bezieht sich dein Kommentar auf den Aufgabenteil e). Dort schreibst du:

1/3ln (ab) -2/3 ln (a) + 1/6 ln (ab) -> 2/6ln (a) + 2/6ln (b) - 4/6ln (a) + 1/6ln (a) + 1/6ln(b) -> ((2/6) / (4/6) *1/6) ln(a) +(2/6* 1/6) ln (b) -> 1/12ln (a) +1/18ln(b)

Die violett bzw. blau gesetzten Auflösungen sind völlig korrekt. Der Fehler liegt vielmehr hier:

1/3ln (ab) -2/3 ln (a) + 1/6 ln (ab) -> 2/6ln (a) + 2/6ln (b) - 4/6ln (a) + 1/6ln (a) + 1/6ln(b) -> ((2/6) / (4/6) *1/6) ln(a) +(2/6* 1/6) ln (b) -> 1/12ln (a) +1/18ln(b)

Dort muss es richtig heißen:

1/3ln (ab) -2/3 ln (a) + 1/6 ln (ab) -> 2/6ln (a) + 2/6ln (b) - 4/6ln (a) + 1/6ln (a) + 1/6ln(b) -> ((2/6) - (4/6) + 1/6) ln(a) +(2/6 + 1/6) ln (b) -> 1/12ln (a) +1/18ln(b)

Verstehst du?

3 * log x + 5 * log x = ( 3 + 5 ) * log x = 8 * log x

Genau wie bei Äpfeln:

3 Äpfel + 5 Äpfel = 8 Äpfel.

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ich komm mir grad vor wie ein Esel :D

ich hab nicht beachtet das die Zahlen, die ich zusammenfasse vor dem Log. stehen und damit muss ich dann ja nicht die Gesetze beachten (zumindest nicht für den vorderen Teil),....

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Hauptsache, der Groschen ist gefallen :-)

Answer 2

2/3 log_b a - 4/5log_b a + 3/4log_ba hier einfach den log_ba ausklammern -> log_ba * (2/3 - 4/5 + 3/4) = 37/60 * log_ba

 1/3ln (ab) -2/3 ln (a) + 1/6 ln (ab) hier log-Gesetz ln(a*b) = ln(a) + ln(b) anwenden -> 1/3*(ln(a) + ln(b)) -2/3*ln(a) + 1/6*(ln(a) + ln(b)) =  1/3*ln(a) + 1/3* ln(b) -2/3*ln(a) + 1/6*ln(a) + 1/6*ln(b) = 1/3*ln(a) - 2/3*ln(a) + 1/6*ln(a)  + 1/3*ln(b) + 1/6*ln(b) = -1/6*ln(a) + 1/2*ln(b)

1/3log_b (x² -y² ) - 1/3log_b (x+y)  ->1/3*log_b [(x -y)*(x + y)] - 1/3* log_b (x + y) = 1/3*log_b (x -y) + 1/3*log_b(x + y) - 1/3* log_b(x + y) 

->1/3*log_b (x - y)

Answer 3

2/3·LOG(b, a) - 4/5·LOG(b, a) + 3/4·LOG(b, a)
= 37/60·LOG(b, a)

1/3·LN(a·b) - 2/3·LN(a) + 1/6·LN(a·b)
= 1/3·LN(a) + 1/3·LN(b) - 2/3·LN(a) + 1/6·LN(a) + 1/6·LN(b)
= 1/2·LN(b) - 1/6·LN(a)

1/3·LOG(b, x^2 - y^2) - 1/3·LOG(b, x + y)
= 1/3·(LOG(b, x^2 - y^2) - LOG(b, x + y))
= 1/3·(LOG(b, (x^2 - y^2) / (x + y))
= 1/3·(LOG(b, (x + y)·(x - y) / (x + y))
= 1/3·(LOG(b, x - y)