f(x) = 2 + 3/x richtig ableiten

Question

Ich möchte $$f(x)=2+\frac { 3 }{ x }$$ ableiten und habe jetzt nach umstellen etc.:

$$\frac { \frac { 3 }{ { x }_{ 0 }+\Delta x } -\frac { 3 }{ { x }_{ 0 } } }{ \Delta x }$$

Nun will ich die oberen Brüche auf einen Nenner bringen. Wäre der Hauptnenner x₀+Δx oder (x₀+Δx)*x₀?

Ich kann ja die zwei Nenner multiplizieren und habe so den gemeinsamen Hauptnenner, also (x₀+Δx)*x₀. Das würde ja meine Frage schon beantworten.

Nun muss ich ja noch die Zähler erweitern. Den linken Zähler erweitere ich mit x₀, sodass im Zähler des linken Bruchs 3*x₀ und den rechten erweitere ich mit x₀+Δx, sodass im Zähler des rechten Bruchs 3* x₀+Δx steht. Ist das richtig so?

Comments

Musst du hier den Differentialquotienten bilden?

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Ich soll die Funktion mit Hilfe der ersten Formel hier:

https://www.mathelounge.de/119267/f-x-3x-2-in-formel-fur-ableitung-b…

ableiten. Ist das der Differentialquotient?

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ja das ist er .-)

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Okay :-) Und ich bin mir gerade bei dem bruch nicht sicher. Wenn ich die beiden Nenner multipliziere habe ich logischerweise den gemeinsamen Hauptnenner, also (x₀+Δx)*x₀ . Nun kommt aber x₀ bereits im linken Bruch vor, sodass ich nicht weiß ob ich den Zähler des linken Bruchs noch mit x₀ erweitern muss. Dasselbe gilt für den rechten Bruch mit Δx.

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Okay Danke, ich versuche noch deine Lösung nachzuvollziehen.

Kannst du mir noch kurz Feedback geben, ob den den Bruch so korrekt erweitert habe?

$$\frac { 3*{ x }_{ 0 } }{ ({ x }_{ 0 }+\Delta x)*{ x }_{ 0 } } -\frac { 3*({ x }_{ 0 }+\Delta x) }{ ({ x }_{ 0 }+\Delta x)*{ x }_{ 0 } }$$

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und der ursprüngliche Nenner unten Δx? Der fällt irgendwie, sonst stimmt es

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Den habe ich der übersichthalber weggelassen :-)

Wenn ich das nun zusammenfasse komme ich doch auf

$$\frac { 3{ x }_{ 0 }-3{ x }_{ 0 }-3Δx }{ { (x }_{ 0 }+Δx)*{ x }_{ 0 } }$$

und dann auf

$$\frac { -3Δx }{ { (x }_{ 0 }+Δx)*{ x }_{ 0 } }$$

ich habe hin und her faktorisiert und bekomme es einfach nicht hin das Δx aus der Summe zu entfernen um es so zu kürzen...

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ja genau und weiter?

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Nun, wenn du zu diesem Ergebnis noch den der Übersichtlichkeit halber weggelassenen Nenner Δx hinschreiben würdest, dann sähest du, dass du diesen gegen das Δx im Zähler kürzen könntest ...

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und dann Δx gegen Null laufen lassen und du bekommst den gesuchten Term

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Ist mir auch gerade just in diesem Moment aufgefallen, vielen Dank Leute :)

Answer 1

$$f(x)=2+\frac { 3 }{ x }$$Daann gilt für die Ableitung von f ( x ):$$f'(x)=\lim _{ \Delta x\rightarrow 0 }{ \frac { \left( 2+\frac { 3 }{ x+\Delta x } \right) -\left( 2+\frac { 3 }{ x } \right) }{ \Delta x } }$$$$=\lim _{ \Delta x\rightarrow 0 }{ \frac { \frac { 3 }{ x+\Delta x } -\frac { 3 }{ x } }{ \Delta x } }$$$$=\lim _{ \Delta x\rightarrow 0 }{ \frac { \frac { 3x-3(x+\Delta x) }{ x(x+\Delta x) } }{ \Delta x } }$$$$=\lim _{ \Delta x\rightarrow 0 }{ \frac { -3\Delta x }{ x(x+\Delta x)\Delta x } }$$$$=\lim _{ \Delta x\rightarrow 0 }{ \frac { -3 }{ { x }^{ 2 }+x\Delta x } }$$$$=\frac { -3 }{ { x }^{ 2 } }$$

Answer 2

(f(x) + f(xo)) / (x - xo) = ((2+3/x) -  (2+3/xo))(x - xo) = (3/x - 3/xo)/(x - xo) = (3*xo - 3*x)/((x - xo)*x*xo) = -3*(x - xo)/((x - xo)*x*xo) = -3/(x*xo)

für x gegen xo folgt  -3/(xo*xo) = -3/xo²

Wenn man ganz klassisch die Funktion an der Stelle xo ableitet, bekommt man f'(xo) = -3/xo² heraus.

Anmerkung: f'(x)= 2+ 3/x kann man auch schreiben als f(x) = 2 + 3*x^-1