Es sei R ein Ring und R[X] der Polynomring mit Koeffizienten in R.

Question

Aufgabe:

Es sei $R$ ein Ring und $R[X]$ der Polynomring mit Koeffizienten in $R$. In der Vorlesung wurde nur die Assoziativität der Multiplikation in $R[X]$ nachgewiesen. Zeige zur Vervollständigung, dass auch das Distributivgesetz gilt.

Comments

WIe wurde denn der Polynomring definiert? (Es gibt mehrere Varianten den einzuführen; je nachdem sieht der Beweis anders aus.)

Answer 1

die Elemente von $R[X]$ sind Ausdrücke der Art

$p(X) = \sum_{i=0}^{d} a_i X^i$.

Für $r \in R$ und $p, q \in R[X]$ und $d \in \mathbb{N}_0: d<\infty$ gilt

$r ( p + q ) = r (\sum a_i X^i + \sum b_i X^i ) = r \sum a_i X^i + r \sum b_i X^i = r p + r q$.

Entsprechend einfach zu zeigen ist die Distributivität gemäß

$( r + s ) p = rp + sp$

mit $r, s \in R$ und $p \in R[X]$. Es handelt sich um ein sehr triviales Rechengesetz.

Mister

Comments

Das wären die Distributivgesetze, wenn man $R[X]$ als $R$-Modul auffasst. Da es aber um $R[X]$ als Ring geht, müssen $p$, $q$ und $r$ allesamt Polynome sein.

---

Dies tut der Trivialität der zu vollziehenden Umformung allerdings keinen Abbruch.