Es sei R ein Ring und R[X] der Polynomring mit Koeffizienten in R.

Question

Aufgabe:

Es sei \( R \) ein Ring und \( R[X] \) der Polynomring mit Koeffizienten in \( R \). In der Vorlesung wurde nur die Assoziativität der Multiplikation in \( R[X] \) nachgewiesen. Zeige zur Vervollständigung, dass auch das Distributivgesetz gilt.

Comments

WIe wurde denn der Polynomring definiert? (Es gibt mehrere Varianten den einzuführen; je nachdem sieht der Beweis anders aus.)

Answer 1

die Elemente von \( R[X] \) sind Ausdrücke der Art

\( p(X) = \sum_{i=0}^{d} a_i X^i \).

Für \( r \in R \) und \( p, q \in R[X] \) und \( d \in \mathbb{N}_0: d<\infty \) gilt

\( r ( p + q ) = r (\sum a_i X^i + \sum b_i X^i ) = r \sum a_i X^i + r \sum  b_i X^i = r p + r q \).

Entsprechend einfach zu zeigen ist die Distributivität gemäß

\( ( r + s ) p = rp + sp \)

mit \( r, s \in R \) und \( p \in R[X] \). Es handelt sich um ein sehr triviales Rechengesetz.

Mister

Comments

Das wären die Distributivgesetze, wenn man \(R[X]\) als \(R\)-Modul auffasst. Da es aber um \(R[X]\) als Ring geht, müssen \(p\), \(q\) und \(r\) allesamt Polynome sein.

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Dies tut der Trivialität der zu vollziehenden Umformung allerdings keinen Abbruch.