a) f(0) = 4 - Gemeinsamer Punkt mit der y-Achse Y(0|4)
0 = 0,25x² - 2x + 4 |·4
0 = x² -8x + 16 = (x-4)² |√
0 = x - 4 → x = 4 - Gemeinsamer Punkt mit der x-Achse (4|0)
Steigung bei x = 0 bestimmen durch Bilden der Ableitung
f'(x) = 0,5x -2
f'(0) = -2
Tangente durch Y: y = -2x + 4
b)
c) Das gesuchte Flächenstück ist das Integral von f von 0 bis 4 minus das Integral der Tangente von 0 bis 2.
F(x) = 1/12x³ - x² +4x, F(4) = 64/12 - 16 + 16
T(x) = -x² + 4x, T(2) = -4+8 = 4
Also A = 64/12 - 4 = 16/12 = 1,25.
d) Man bestimmt das Rotationsvolumen durch das Integral zwischen a und b von Pi multipliziert mit der Funktion zum Quadrat. Also hier:
Integral von 0 bis 2 (π·(0,25x² - 2x + 4 + 2x - 4)²) = Integral von 0 bis 2 (π·1/16x⁴) = 5π/16 · 2⁴ = 5π
Integral von 2 bis 4 (π·(0,25x² - 2x + 4)²) = Integral von 2 bis 4 (π·(0,25(x-4)²)²) = Integral von 2 bis 4 (π·1/16(x-4)⁴) = Integral von 2 bis 4 (π·1/16(x⁴ - 16x³ + 96x² - 256x + 256)) = π/16 · (1/5x⁵ - 4x⁴ + 32x³ - 128x² + 256x) von 2 bis 4 = π/16 · (0,2·4⁵ - 4·4⁴ + 32·4³ - 128·16 + 256·4 - 0,2·2⁵ + 4·16 - 32·8 + 128·4 - 512) = 0,4π
Also ist das Gesamtvolumen 5,4π.
e) Hier liegt der größte Flächeninhalt dann vor, wenn die Differenz der beiden Graphen bzw. des Graphen und der x-Achse maximal ist, was eindeutig bei x=2 ist, wie du auch der Zeichnung entnehmen kannst.
Hoffe du kannst einigermaßen folgen.
LG Florian
