Aufgabe:
In einem Labor werden Bakterien zu Forschungszwecken gezüchtet. Es werden regelmäßig Bakterien für Versuche entnommen. Die Entnahmen finden zwar permanent statt, sollen jedoch nicht weiter gesteigert werden, so dass der Bakterienertrag näherungsweise durch die Funktion \( f(t)=100 \) [in \( \mathrm{mg} \) ] angegeben werden kann. Es kann davon ausgegangen werden, dass sich die vorhandenen Bakterien rege fortpflanzen und der Bestand stetig um \( 10 \% \) (p.a.) wächst.
a) Wie hoch ist der Bakterienbestand nach einer Dauer von 7 Jahren, wenn sich anfänglich \( 750 \mathrm{mg} \) Bakterien in der Nährstofflösung befinden?
b) Wie viele Jahre dauert es in diesem Fall, bis das letzte Milligramm Bakterien entnommen wurde?
c) Wie hoch müsste der Anfangsbestand mindestens sein, damit ein dauerhafter Bakterienbestand sichergestellt ist?
Und meinen Lösungsansatz:
\( K(T)=e^{r \cdot T} \cdot \int \limits_{0}^{T} f(t) e^{-r t} d t \)
\( K(7)=e^{0,7} \cdot \int \limits_{0}^{7} 100 \cdot e^{-0.1 t} d t \)
\( =e^{0.7} \cdot\left[-1000 e^{-0,4 t}\right]_{0}^{7} \)
\( =1013.75 \)
Dabei fehlen noch die 750mg die am Anfang vorhanden sind. Ich weiß allerdings nicht wo ich die hier unterbringen soll.
Ist der Ansatz ansonsten richtig?
