Komplexe Zahlen und deren Urbild

Question

Aufgabe:

Sei \( f \) die Funktion

\( f: \mathbb{C} \backslash\{-i\} \longrightarrow \mathbb{C} \backslash\{1\}, \quad z \longmapsto \frac{z-i}{z+i} \text {. } \)

Zeigen Sie, dass \( f \) bijektiv ist und berechnen Sie \( f^{-1} \). Zeigen Sie außerdem, dass gilt:

\( f^{-1}\{z \in \mathbb{C}|| z \mid=1\}=\mathbb{R} \)

Answer 1

Nun, für den unteren Teil benötigt man zunächst f ^-1 ( z ).

$$f(z)=\frac { z-i }{ z+i }$$$$\Leftrightarrow f(z)(z+i)=z-i$$$$\Leftrightarrow zf(z)+if(z)=z-i$$$$\Leftrightarrow zf(z)-z=-if(z)-i$$$$\Leftrightarrow z(f(z)-1)=-if(z)-i$$$$\Leftrightarrow z=(-if(z)-i)/(f(z)-1)$$$$\Leftrightarrow { f }^{ -1 }(z)=-(iz-i)/(z-1)$$$$\Leftrightarrow { f }^{ -1 }(z)=-i(z+1)/(z-1)$$

Dann:

| z | = 1

<=> | a + i b | = 1

<=> √ ( a ² + b ² ) = 1

<=> a ² + b ² = 1

also:

{ z ∈ C | | z | = 1 } = { z = ( a + i b ) ∈ C | a ² + b ² = 1 }

Zu zeigen ist also:

f ^-1 { z = ( a + i b ) ∈ C | a ² + b ² = 1 } = R

 

Für beliebiges z ∈ C gilt:

$${ f }^{ -1 }(z)∈R$$$$\Leftrightarrow$$$$Im({ f }^{ -1 }(z))=0$$$$\Leftrightarrow$$$$Im\left( \frac { -i(z+1) }{ z-1 }  \right)$$$$=Im\left( \frac { -iz-i) }{ z-1 }  \right)$$$$=Im\left( \frac { -i(a+ib)-i) }{ a+ib-1 }  \right)$$$$=Im\left( \frac { -ia+b-i }{ a+ib-1 }  \right)$$$$=Im\left( \frac { b+i(-a-1) }{ a-1+ib }  \right)$$$$=Im\left( \frac { (b+i(-a-1))(a-1-ib) }{ (a-1+ib)(a-1-ib) }  \right)$$$$=Im\left( \frac { (b-ia-i)(a-1-ib) }{ (a-1)^{ 2 }+{ b }^{ 2 } }  \right) =0$$Nenner ist reell, also genügt es, den Imaginärteil des Zähler zu betrachten:$$\Leftrightarrow$$$$Im\left( (b-ia-i)(a-1-ib) \right) =0$$$$\Leftrightarrow$$$$Im\left( (b-ia-i)(a-1-ib) \right)$$$$=Im\left( ab-b-i{ b }^{ 2 }-i{ a }^{ 2 }+ia-ab-ia+i-b \right)$$$$=-{ b }^{ 2 }-{ a }^{ 2 }+1=0$$$$\Leftrightarrow$$$${ a }^{ 2 }+{ b }^{ 2 }=1$$$$\Leftrightarrow$$$$|z|=|a+bi|=1$$

f ^-1 ( z ) ist also genau dann eine reelle Zahl, wenn | z | = 1

q.e.d.