Grenzwert von Bruchterm: Man zeige, dass lim x->∞ x^k/e^x=0 ist.

Question

Man zeige, dass $$ \lim_{x\to∞}\frac { x^k }{ e^x }=0  $$ ist

Aber wie?

Im Buch steht, dass man den Zähler und den Nenner k-mal ableiten muss, also ^k-1 ?? dann?

Comments

Schöne Aufgabe! Der Beweis zeigt dir, dass die Exponentialfunktion y = e^x für grosse x stärker wächst als jede Potenzfunktion y = x^k.
(Annahme: Vorausgesetzt ist für den Beweis mal, dass k eine natürliche Zahl ist)

Answer 1

Der Lösungsansatz ist doch gegeben

z(x) = x^k

z'(x) = k*x^{k-1}

z''(x) = k*(k-1)*x^{k-2}

z'''(x) = k*(k-1)*(x-2)*x^{k-3}

z^(k)(x) = k*(k-1)*(x-2)*...*1 = k!

Der Nenner bleibt abgeleitet immer e^x

Also ist der Grenzwert nach L'Hospital

k! / e^x = 0

Eine Beliebige Zahl geteilt durch etwas unendliches geht gegen 0.

Comments

Könntest du es mir noch etwas ausführlicher erklären? Vorallem das mit l'hospital?? Und den letzten satz?

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Lies mal unter

https://de.wikipedia.org/wiki/Regel_von_L%E2%80%99Hospital

Ich hatte dir schon versucht den letzten Satz zu erklären.

Stell dir mal ein Extrem großen Geldbetrg vor. Und jetzt teilst du diesen durch die Anzahl aller Atome die in unserem Universum existieren. Was meinst du was da heraus kommt? Richtig. Das geht gegen 0.

Jeder endliche Wert geteilt durch eine unendlich Große Zahl geht gegen Null.

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Ahhhh ja stimmt!! Danke Mathecoach :) Ich mache später wieder paar Aufgaben :) würdest du mir dann helfen?

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Du kannst dich ja mal an meiner eingestellten Aufgabe zur Flächenberechnung versuchen

https://www.mathelounge.de/126654/hier-aufgabe-noch-etwas-training-flachenberechnung-brauchen

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Ja das ist zwar eine sehr schicke Aufgabe aber ich hab dieses buch nicht lange deshalb würde ich gerne damit arbeiten :) Ich hoffe du verstehst es nicht falsch :)

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Klar. Mach nur soviel Aufgaben wie du willst.